36. Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 alunos acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois problemas e 17 alunos erraram o primeiro problema. Nesse contexto, assinale o que for correto.

(01) 10 alunos erraram os dois problemas.
(02) 20 alunos erraram o segundo problema.
(04) 18 alunos acertaram somente o primeiro problema.
(08) 45 alunos fizeram a prova.

Question

36. Uma prova continha dois problemas: 30 alunos acertaram somente um problema, 22 alunos acertaram o segundo problema, 10 alunos acertaram os dois...

Ed · Answer

Vamos analisar as informações dadas:

- 30 alunos acertaram somente um problema.
- 22 alunos acertaram o segundo problema (incluindo os que acertaram os dois).
- 10 alunos acertaram os dois problemas.
- 17 alunos erraram o primeiro problema.

Agora, vamos calcular:

1. **Alunos que acertaram somente o primeiro problema**: 
   - Total que acertou o primeiro problema = Alunos que acertaram somente o primeiro + Alunos que acertaram os dois.
   - Total que acertou o primeiro problema = 30 (somente o primeiro) + 10 (os dois) = 40 alunos.

2. **Alunos que erraram o primeiro problema**: 
   - Temos 17 alunos que erraram o primeiro problema. Portanto, o total de alunos que fez a prova é:
   - Total de alunos = Alunos que acertaram o primeiro + Alunos que erraram o primeiro = 40 + 17 = 57 alunos.

3. **Alunos que acertaram o segundo problema**:
   - Total que acertou o segundo problema = Alunos que acertaram somente o segundo + Alunos que acertaram os dois.
   - 22 alunos acertaram o segundo problema, então:
   - Alunos que acertaram somente o segundo = 22 - 10 = 12 alunos.

Agora, vamos verificar as afirmações:

(01) 10 alunos erraram os dois problemas.
- Total de alunos que erraram o primeiro = 17. Para saber quantos erraram o segundo, precisamos considerar que 22 alunos acertaram o segundo. Portanto, 57 - 22 = 35 alunos erraram o segundo. Logo, essa afirmação é **falsa**.

(02) 20 alunos erraram o segundo problema.
- Como calculado, 35 alunos erraram o segundo. Portanto, essa afirmação é **falsa**.

(04) 18 alunos acertaram somente o primeiro problema.
- Já sabemos que 30 alunos acertaram somente um problema, e 10 acertaram os dois. Portanto, 30 - 10 = 20 alunos acertaram somente o primeiro. Essa afirmação é **falsa**.

(08) 45 alunos fizeram a prova.
- Já calculamos que 57 alunos fizeram a prova. Portanto, essa afirmação é **falsa**.

Resumindo, todas as afirmações (01), (02), (04) e (08) são falsas.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar o princípio da inclusão-exclusão. Vamos analisar cada informação dada:

- 30 alunos acertaram somente um problema
- 22 alunos acertaram o segundo problema
- 10 alunos acertaram os dois problemas
- 17 alunos erraram o primeiro problema

Agora, vamos calcular o total de alunos que acertaram pelo menos um problema:
Total = alunos que acertaram o primeiro problema + alunos que acertaram o segundo problema - alunos que acertaram os dois problemas
Total = 30 + 22 - 10
Total = 42

Sabemos que 17 alunos erraram o primeiro problema, então o total de alunos que fizeram a prova é:
Total de alunos = Total de alunos que acertaram pelo menos um problema + alunos que erraram o primeiro problema
Total de alunos = 42 + 17
Total de alunos = 59

Portanto, a alternativa correta é:
(08) 45 alunos fizeram a prova.

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CBMERJ - Álgebra - Módulo 04 -Conjuntos e Estudo das Funções

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1. Sejam os conjuntos A = {x ∈ ℝ|0 < x ≤ 5}, B = {x ∈ ℝ|x ≥ 5} e C = {x ∈ ℝ|x ≤ 0}. Pode-se afirmar que
a) (A − B) ∪ C = C
b) (A− C) ∩ B = ∅
c) (B ∪ C) ∩ A = ℝ
d) (B ∩ C) ∪ A = A

4. Seja X um conjunto com 6 elementos distintos e seja P(X) o conjunto das partes de X. O número de elementos de P(X) é:
a) 62
b) 64
c) 6
d) 7
e) 63

5. Em uma pesquisa de opinião acerca dos processos de geração de energia e seus impactos na natureza, foi constatado que:
a) 280
b) 370
c) 480
d) 220
e) 330

A quantidade de subconjuntos X que satisfazem a inclusão {1,2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é

a) 4.
b) 5.
c) 3.
d) 2.
e) 1.

24. Considere a sentença: para qualquer x pertencente ao conjunto M, tem-se x2 > x. Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M.

a) {-2, -1/2, 1/2, 1, 2}
b) {-1/2, 0, 2}
c) {-2, -1/2, 2}
d) {-1, 1, 2}
e) {0, 1/2, 1}

27. Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é

a) 236
b) 240
c) 244
d) 246

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1. Sejam os conjuntos A = {x ∈ ℝ|0 < x ≤ 5}, B = {x ∈ ℝ|x ≥ 5} e C = {x ∈ ℝ|x ≤ 0}. Pode-se afirmar quea) (A − B) ∪ C = Cb) (A− C) ∩ B = ∅c) (B ∪ C) ∩ A = ℝd) (B ∩ C) ∪ A = A

4. Seja X um conjunto com 6 elementos distintos e seja P(X) o conjunto das partes de X. O número de elementos de P(X) é:a) 62b) 64c) 6d) 7e) 63

5. Em uma pesquisa de opinião acerca dos processos de geração de energia e seus impactos na natureza, foi constatado que:a) 280b) 370c) 480d) 220e) 330

De acordo com os conjuntos numéricos, analise as afirmativas abaixo:I. Todo número natural é inteiro.II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional.III. Todo número real é complexo.IV. Todo número racional é inteiro.a) I e II.b) I e III.c) I e IV.d) II e III.e) III e IV.

A quantidade de subconjuntos X que satisfazem a inclusão {1,2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} éa) 4.b) 5.c) 3.d) 2.e) 1.

24. Considere a sentença: para qualquer x pertencente ao conjunto M, tem-se x2 > x. Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M.a) {-2, -1/2, 1/2, 1, 2}b) {-1/2, 0, 2}c) {-2, -1/2, 2}d) {-1, 1, 2}e) {0, 1/2, 1}

27. Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma éa) 236b) 240c) 244d) 246

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1. Sejam os conjuntos A = {x ∈ ℝ|0 < x ≤ 5}, B = {x ∈ ℝ|x ≥ 5} e C = {x ∈ ℝ|x ≤ 0}. Pode-se afirmar que
a) (A − B) ∪ C = C
b) (A− C) ∩ B = ∅
c) (B ∪ C) ∩ A = ℝ
d) (B ∩ C) ∪ A = A

4. Seja X um conjunto com 6 elementos distintos e seja P(X) o conjunto das partes de X. O número de elementos de P(X) é:
a) 62
b) 64
c) 6
d) 7
e) 63

5. Em uma pesquisa de opinião acerca dos processos de geração de energia e seus impactos na natureza, foi constatado que:
a) 280
b) 370
c) 480
d) 220
e) 330

A quantidade de subconjuntos X que satisfazem a inclusão {1,2} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é

a) 4.
b) 5.
c) 3.
d) 2.
e) 1.

24. Considere a sentença: para qualquer x pertencente ao conjunto M, tem-se x2 > x. Assinale a alternativa que apresenta um possível conjunto M.

a) {-2, -1/2, 1/2, 1, 2}
b) {-1/2, 0, 2}
c) {-2, -1/2, 2}
d) {-1, 1, 2}
e) {0, 1/2, 1}

27. Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é

a) 236
b) 240
c) 244
d) 246