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Análise Matemática

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Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. P3: N-s(N) consta de um só elemento. É somente correto afirmar que (I) Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. (II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. (III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N.
(I) e (II)
(III)
(II) e (III)
(II)
(I) e (III)
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Vamos analisar cada afirmação em relação ao terceiro axioma de Peano: (I) Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. Esta afirmação está correta, pois o terceiro axioma de Peano estabelece que o conjunto N-s(N) (números naturais que não são sucessores de nenhum outro) possui um único elemento. (II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. Esta afirmação está incorreta, pois o terceiro axioma de Peano não trata da existência de um único elemento 1, mas sim da existência de um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. (III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N. Esta afirmação está correta, pois faz parte da definição dos números naturais que cada número natural possui um único sucessor. Portanto, as afirmações corretas são (I) e (III). A alternativa que contém todas as afirmações corretas é: (I) e (III).

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Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.

Todo número natural possui um único sucessor, que pode não ser um número natural.
Todo número natural possui um sucessor que não é natural.
Todo número natural é sucessor de algum número natural.
Todo número natural possui um sucessor, que pode não ser único, porém é um número natural.
Todo número natural possui um único sucessor, que também é um número natural.

Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada número n∈N associa a um número s(n)∈N, dito sucessor de n. (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um único número natural que não é sucessor de nenhum outro. (III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto
I e II somente.
I somente.
II e III somente.
I, II e III.
I e III somente.

Considerando o resultado: Se m < n e n < p então m < p. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dele.
Se m < n então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
Se n < p então, temos que: n = m + k e p = n. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
Se m < n e n < p então, temos que: n = k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.
Se m > n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m > p.
Se m < n e n < p então, temos que: n = m + k e p = n + r. Assim, p = (m + k) + r = m + (k + r), portanto m < p.

Considerando o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. O segundo dos axiomas de Peano é P2. P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
Existe um número natural que não possui um sucessor.
(II) e (III)
(I) e (III)
(III)
(I) e (II)
(II)

Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente, (I) m+(n+p)=(m+n)+p (II) n+m=m+n (III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: m=n ou ∃p∈N tal que m=n+p ou ∃p∈N tal que n=m+p . (IV) m+n=m+p⇒n=p
(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte
(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.

Identificando cada propriedade formal da relação de ordem com seu nome, obtemos respectivamente, (I) se m < n (II) Dados m,n pertencentes a N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: ou m=n ou mn (III) se m

(I) Transitividade, (II) Tricotomia e (III) Monotonicidade da Adição.
(I) Associativa, (II) Lei do Corte e (III) Tricotomia.
(I) Monotonicidade da Adição, (II) Comutativa e (III) Tricotomia.
(I) Tricotomia, (II) Transitividade e (III) Associativa.
(I) Monotonicidade

Decida se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: (1) Se limn→∞an=∞ e bn=n2+3 então limn→∞anbn= ∞ (2) Se an→0 e bn→∞ então anbn→0 (3) Se an e bn são ambas seqüências não convergentes, então a seqüência an+bn não converge. (4) Se limn→∞an=−∞ e limn→∞bn=∞ então limn→∞anbn= −1 . (5) Se an converge então ∑an também converge.
As proposições (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (1), (4) e (5) são falsas.
As proposições (1), (4) e (5) são verdadeiras e as prosições (2) e (3) são falsas.
As proposições (1), (2) e (3) são verdadeiras e as prosições (4) e (5) são falsas.
Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.

Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos axiomas de Peano. Esta teoria estabelece a existência de uma função s:N→N, que a cada numero n∈N associa a um numero s(n)∈N, dito sucessor de n. (I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais, ou ainda, números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. (II) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (III) Se um subconjunto de números naturais contém o número 1 e, além disso, contém o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto coincide com o conjunto dos Naturais N. Sobre estes axiomas, sobre esta função e sobre estas afirmativas é correto

I e II somente.
II e III somente.
I, II e III.
I somente.
I e III somente.

Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. Considere o terceiro axioma de Peano abaixo. P3: N-s(N) consta de um só elemento. É somente correto afirmar que (I) Existe um único numero natural que não é sucessor de nenhum outro. (II) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1≠s(n) para todo n∈N. (III) Todo elemento pertencente a N possui um único sucessor em N.

I e II
I e III
II e III
III
II

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