Para determinar se os pares de proposições são equivalentes, podemos simplificar as expressões lógicas e comparar se elas possuem o mesmo valor lógico. Vamos analisar cada par de proposições: (a) ∼ P∨ ∼ Q e ∼ (P∨ ∼ Q): - A primeira expressão é a negação de P ou a negação de Q. - A segunda expressão é a negação de (P ou a negação de Q), o que é equivalente a "não P e Q". Portanto, as expressões não são equivalentes. (b) ∼ (P→ (Q ∧ R) e ∼ (P→ Q)∨ ∼ (P→ R): - A primeira expressão é a negação de (P implica (Q e R)), o que é equivalente a "P e não (Q e R)". - A segunda expressão é a negação de (P implica Q) ou a negação de (P implica R), o que é equivalente a "P e não Q ou P e não R". Portanto, as expressões não são equivalentes. (c) P→ (Q→ R) e (P ∧ Q)→ R: - A primeira expressão é "Se P, então se Q, então R", o que é equivalente a "Se P e Q, então R". - A segunda expressão é "Se P e Q, então R". Essas expressões são equivalentes, pois ambas representam a mesma relação lógica. Portanto, o par de proposições que são equivalentes é: (c) P→ (Q→ R) e (P ∧ Q)→ R.