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Análise Matemática

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Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. I. ( ) XX é um conjunto aberto. II. ( ) XX é um conjunto limitado. III. ( ) XX é um conjunto compacto. IV. ( ) XX é um conjunto fechado. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
I. XX é um conjunto aberto.
II. XX é um conjunto limitado.
III. XX é um conjunto compacto.
IV. XX é um conjunto fechado.
A V-V-F-F
B V-V-V-F
C F-F-V-V
D F-V-F-F
E V-F-V-F
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Respostas

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Para responder corretamente, vamos analisar cada assertiva: I. ( ) X é um conjunto aberto. O intervalo X=(-√2,√2) não inclui os pontos -√2 e √2, portanto, não inclui seus pontos extremos. Dessa forma, X não é um conjunto aberto, pois não contém todos os seus pontos interiores. Falso. II. ( ) X é um conjunto limitado. O intervalo X=(-√2,√2) é limitado, pois todos os seus elementos estão contidos em um intervalo finito. Verdadeiro. III. ( ) X é um conjunto compacto. Um conjunto compacto é um conjunto fechado e limitado. Como o intervalo X=(-√2,√2) é limitado, mas não inclui seus pontos extremos, ele não é considerado compacto. Falso. IV. ( ) X é um conjunto fechado. O intervalo X=(-√2,√2) não inclui os pontos -√2 e √2, ou seja, não inclui seus pontos extremos. Portanto, X não é um conjunto fechado. Falso. Portanto, a sequência correta é Falso - Verdadeiro - Falso - Falso, representada pela alternativa D) F-V-F-F.

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Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e São corretas apenas as afirmativas:

A III e V
B I e III
C I e IV
D II e V
E II, III e V

Considere o trecho de texto a seguir: “As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+ an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R(a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas séries de potências.” Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas. I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)). II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R. III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R. Agora marque a sequência correta:
I. A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)).
II. Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R.
III. Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin⁡(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R.
A F – F – F
B F – V – V
C V – V – F
D V – F – V
E V – V – V

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