12. (UEFS-94.1) A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 – 6i. O módulo de z é: a) √ 13 b) √ 7 c) 13 d) 7 e) 5

Para resolver essa questão, podemos representar o número complexo \( z \) na forma retangular como \( z = a + bi \), onde \( a \) é a parte real e \( b \) é a parte imaginária de \( z \). Sabemos que a soma de um número complexo \( z \) com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. Portanto, podemos escrever essa informação como: \[ z + 3\overline{z} = -8 - 6i \] Onde \( \overline{z} \) representa o conjugado de \( z \), ou seja, \( \overline{z} = a - bi \). Substituindo \( z = a + bi \) e \( \overline{z} = a - bi \) na equação acima, temos: \[ a + bi + 3(a - bi) = -8 - 6i \] \[ a + bi + 3a - 3bi = -8 - 6i \] \[ 4a - 2bi = -8 - 6i \] Agora, podemos separar a parte real da parte imaginária: \[ 4a = -8 \] \[ -2b = -6 \] Resolvendo essas equações, encontramos \( a = -2 \) e \( b = 3 \). Portanto, o número complexo \( z \) é \( -2 + 3i \). Para encontrar o módulo de \( z \), utilizamos a fórmula: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] \[ |z| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} \] \[ |z| = \sqrt{4 + 9} \] \[ |z| = \sqrt{13} \] Assim, o módulo de \( z \) é \( \sqrt{13} \). Portanto, a alternativa correta é: a) √13.