Para encontrar a equação do plano que passa pelo ponto \( A = (1, 0, -1) \) e contém a reta \( r \), que é a interseção dos planos dados, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a normal dos planos: - O primeiro plano \( x + y - z = 0 \) tem vetor normal \( \mathbf{n_1} = (1, 1, -1) \). - O segundo plano \( 2x - y + 3z - 1 = 0 \) tem vetor normal \( \mathbf{n_2} = (2, -1, 3) \). 2. Encontrar o vetor diretor da reta \( r \): - O vetor diretor da reta \( r \) pode ser encontrado pelo produto vetorial \( \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} \): \[ \mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2)\mathbf{k} \] \[ = (3 - 1)\mathbf{i} - (3 + 2)\mathbf{j} + (-1 - 2)\mathbf{k} = (2, -5, -3) \] 3. Encontrar a equação do plano: - O plano que contém a reta \( r \) e passa pelo ponto \( A \) pode ser expresso na forma: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] onde \( (a, b, c) \) é um vetor normal ao plano. Podemos usar o vetor normal de um dos planos ou o vetor diretor da reta \( r \) para isso. Vamos usar \( \mathbf{n_1} \) como normal: \[ 1(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z + 1) = 0 \] Simplificando, temos: \[ x + y - z - 1 + 1 = 0 \implies x + y - z = 0 \] 4. Verificar a equação: - A equação do plano que passa pelo ponto \( A \) e contém a reta \( r \) é: \[ x + y - z = 0 \] Portanto, a equação do plano que passa pelo ponto \( (1, 0, -1) \) e contém a reta \( r \) é \( x + y - z = 0 \).