Qual é o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\)? A) 0 B) \(\frac{1}{4}\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(\frac{1}{2}\)

Para encontrar o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\), primeiro precisamos integrar a função em relação a \(x\) e depois avaliar nos limites de integração de 0 a 1. Integrando termo a termo, temos: \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx = \left[ x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}\) Agora, vamos substituir os limites de integração: \(= (1^4 - \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1^2) - (0^4 - \frac{2}{3} \cdot 0^3 + \frac{1}{2} \cdot 0^2)\) \(= (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) - (0 - 0 + 0)\) \(= 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\) \(= \frac{6}{6} - \frac{4}{6} + \frac{3}{6}\) \(= \frac{5}{6}\) Portanto, o valor da integral definida \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\) é \(\frac{5}{6}\). Assim, a alternativa correta é: Nenhuma das opções fornecidas.