Para encontrar a série de Fourier da função \( f(x) = |x| \) no intervalo \([-π, π]\), precisamos calcular os coeficientes da série de Fourier. A série de Fourier é dada por: \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \] Os coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \) são calculados da seguinte forma: 1. Coeficiente \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] Para \( f(x) = |x| \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{\pi} x \, dx \right) = \frac{1}{2\pi} \left( \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \] 2. Coeficientes \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] Como \( f(x) \) é uma função par, \( b_n = 0 \). Portanto, precisamos calcular apenas \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx + \int_{-\pi}^{0} -x \cos(nx) \, dx \right) = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] Usando integração por partes, obtemos: \[ a_n = \frac{2(-1)^n}{n} \] 3. Série de Fourier: Com \( a_0 = \frac{\pi}{2} \) e \( a_n = \frac{2(-1)^n}{n} \), a série de Fourier se torna: \[ f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n} \cos(nx) \] A resposta final, conforme mencionado, é: \[ f(x) = \frac{\pi^2}{3} - \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos(nx)}{n^2} \] Essa é a série de Fourier para \( f(x) = |x| \) no intervalo \([-π, π]\).