Grátis: Qual é o teorema fundamental do cálculo? - A) A conexão entre derivadas e integrais - B) O cálculo de limites - C) A solução de equações diferenci...

Cálculo

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Qual é o teorema fundamental do cálculo?

- A) A conexão entre derivadas e integrais
- B) O cálculo de limites
- C) A solução de equações diferenciais
- D) A avaliação de séries
- Resposta: A) A conexão entre derivadas e integrais
- Explicação: Ele estabelece que a integração e a diferenciação são operações inversas.

Questões Para o Saber

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ESTÁCIO

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O teorema fundamental do cálculo estabelece a conexão fundamental entre derivadas e integrais, demonstrando que a integração e a diferenciação são operações inversas. Portanto, a alternativa correta é: A) A conexão entre derivadas e integrais.

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Qual é a matriz inversa de \( \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)?

- A) \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)
- B) \( \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)
- C) \( \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \)
- D) \( \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)
- Resposta: A) \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)
- Explicação: O determinante é \( 14 \) e a inversa é dada por \( \frac{1}{det} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \).

Qual é a expressão para a fórmula de Euler?

- A) \( e^{ix} = \cos x + i\sin x \)
- B) \( e^{ix} = \cos x - i\sin x \)
- C) \( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \ldots \)
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- Resposta: A) \( e^{ix} = \cos x + i\sin x \)
- Explicação: É a famosa relação entre exponenciais e funções trigonométricas.

Como se chama a série que se forma ao somar potências de \( x \) até infinito?

- A) Sine
- B) Taylor
- C) Exponencial
- D) Geométrica
- Resposta: B) Taylor
- Explicação: A série de Taylor é a expansão de uma função em termos de potências.

Qual é o valor de \( \cos^{-1}(0) \)?

- A) 0
- B) \( \frac{\pi}{2} \)
- C) \( \pi \)
- D) Não existe
- Resposta: C) \( \pi \)
- Explicação: O cosseno igual a zero ocorre em \( \frac{\pi}{2} \) e \( 3\frac{\pi}{2} \).

Qual é a integral indefinida de \( \int \tan(x) dx \)?

- A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
- B) \( \ln|\sec(x)| + C \)
- C) \( \ln|\tan(x)| + C \)
- D) \( \sin(x) + C \)
- Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
- Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é dada pela identidade logarítmica.

Qual é a principal característica de uma função contínua em um intervalo?

- A) Não possui pontos de descontinuidade
- B) Sempre crescente
- C) A primeira derivada é zero
- D) É sempre limitada
- Resposta: A) Não possui pontos de descontinuidade
- Explicação: Uma função é contínua se não tem saltos ou interrupções.

Qual é a solução da equação diferencial \( y' + y = 0 \)?

- A) \( y = Ce^{-x} \)
- B) \( y = Cx \)
- C) \( y = Ce^{x} \)
- D) \( y = x + C \)
- Resposta: A) \( y = Ce^{-x} \)
- Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Qual é o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)?

- A) \( |x| < 1 \)
- B) \( |x| \leq 1 \)
- C) \( |x| > 1 \)
- D) Não converge
- Resposta: A) \( |x| < 1 \)
- Explicação: Essa é uma série geométrica que converge se a razão é menor que 1.

Qual é o resultado de \( \int_0^1 x^{1/2} dx \)?

- A) \( \frac{2}{3} \)
- B) \( \frac{3}{2} \)
- C) 1
- D) 0
- Resposta: A) \( \frac{2}{3} \)
- Explicação: A integral é \( \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \) em \( 0 \) a \( 1 \).

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Como se chama a série que se forma ao somar potências de \( x \) até infinito?- A) Sine- B) Taylor- C) Exponencial- D) Geométrica- Resposta: B) Taylor- Explicação: A série de Taylor é a expansão de uma função em termos de potências.

Qual é o valor de \( \cos^{-1}(0) \)?- A) 0- B) \( \frac{\pi}{2} \)- C) \( \pi \)- D) Não existe- Resposta: C) \( \pi \)- Explicação: O cosseno igual a zero ocorre em \( \frac{\pi}{2} \) e \( 3\frac{\pi}{2} \).

Qual é a integral indefinida de \( \int \tan(x) dx \)?- A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)- B) \( \ln|\sec(x)| + C \)- C) \( \ln|\tan(x)| + C \)- D) \( \sin(x) + C \)- Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)- Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é dada pela identidade logarítmica.

Qual é a solução da equação diferencial \( y' + y = 0 \)?- A) \( y = Ce^{-x} \)- B) \( y = Cx \)- C) \( y = Ce^{x} \)- D) \( y = x + C \)- Resposta: A) \( y = Ce^{-x} \)- Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Qual é o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)?- A) \( |x| < 1 \)- B) \( |x| \leq 1 \)- C) \( |x| > 1 \)- D) Não converge- Resposta: A) \( |x| < 1 \)- Explicação: Essa é uma série geométrica que converge se a razão é menor que 1.

Qual é o resultado de \( \int_0^1 x^{1/2} dx \)?- A) \( \frac{2}{3} \)- B) \( \frac{3}{2} \)- C) 1- D) 0- Resposta: A) \( \frac{2}{3} \)- Explicação: A integral é \( \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \) em \( 0 \) a \( 1 \).

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Qual é o valor de \( \cos^{-1}(0) \)?

- A) 0
- B) \( \frac{\pi}{2} \)
- C) \( \pi \)
- D) Não existe
- Resposta: C) \( \pi \)
- Explicação: O cosseno igual a zero ocorre em \( \frac{\pi}{2} \) e \( 3\frac{\pi}{2} \).

Qual é a integral indefinida de \( \int \tan(x) dx \)?

- A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
- B) \( \ln|\sec(x)| + C \)
- C) \( \ln|\tan(x)| + C \)
- D) \( \sin(x) + C \)
- Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)
- Explicação: A integral de \( \tan(x) \) é dada pela identidade logarítmica.

Qual é a solução da equação diferencial \( y' + y = 0 \)?

- A) \( y = Ce^{-x} \)
- B) \( y = Cx \)
- C) \( y = Ce^{x} \)
- D) \( y = x + C \)
- Resposta: A) \( y = Ce^{-x} \)
- Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Qual é o intervalo de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \)?

- A) \( |x| < 1 \)
- B) \( |x| \leq 1 \)
- C) \( |x| > 1 \)
- D) Não converge
- Resposta: A) \( |x| < 1 \)
- Explicação: Essa é uma série geométrica que converge se a razão é menor que 1.

Qual é o resultado de \( \int_0^1 x^{1/2} dx \)?

- A) \( \frac{2}{3} \)
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- C) 1
- D) 0
- Resposta: A) \( \frac{2}{3} \)
- Explicação: A integral é \( \int x^{1/2} dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \) em \( 0 \) a \( 1 \).