Para resolver a integral dupla usando coordenadas polares, primeiro precisamos entender a região D definida pelas equações \(x^2 + y^2 = 4\) e \(x^2 + y^2 = 9\). Essas equações representam círculos com raios 2 e 3, respectivamente. Em coordenadas polares, temos: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - \(dx \, dy = r \, dr \, d\theta\) A integral se torna: \[ \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx \, dy = \iint_D r \, r \, dr \, d\theta = \iint_D r^2 \, dr \, d\theta \] Os limites para \(r\) vão de 2 a 3 (raios dos círculos) e para \(\theta\) vão de 0 a \(2\pi\) (cobrindo o círculo completo). Assim, a integral fica: \[ \int_0^{2\pi} \int_2^3 r^2 \, dr \, d\theta \] Calculando a integral interna: \[ \int_2^3 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_2^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3} \] Agora, calculamos a integral externa: \[ \int_0^{2\pi} \frac{19}{3} \, d\theta = \frac{19}{3} \cdot 2\pi = \frac{38\pi}{3} \] Portanto, o valor da integral dupla é \(\frac{38\pi}{3}\). A alternativa correta é: a. \( \frac{38\pi}{3} \).