Para resolver essa questão, precisamos encontrar a reta tangente à função \( y = x^3 + 7 \) no ponto \( (1, 8) \) e, em seguida, calcular a área do triângulo formado por essa reta e os eixos \( x \) e \( y \). 1. Encontrar a derivada da função: A derivada de \( y = x^3 + 7 \) é \( y' = 3x^2 \). 2. Calcular a inclinação da tangente no ponto (1, 8): Substituindo \( x = 1 \) na derivada: \[ y' = 3(1)^2 = 3. \] Portanto, a inclinação da reta tangente é 3. 3. Encontrar a equação da reta tangente: Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta: \[ y - y_0 = m(x - x_0), \] onde \( (x_0, y_0) = (1, 8) \) e \( m = 3 \): \[ y - 8 = 3(x - 1) \implies y = 3x + 5. \] 4. Encontrar os pontos de interseção com os eixos: - Interseção com o eixo \( y \) (quando \( x = 0 \)): \[ y = 3(0) + 5 = 5 \quad \text{(ponto (0, 5))}. \] - Interseção com o eixo \( x \) (quando \( y = 0 \)): \[ 0 = 3x + 5 \implies 3x = -5 \implies x = -\frac{5}{3} \quad \text{(ponto (-5/3, 0))}. \] 5. Calcular a área do triângulo formado: A base do triângulo é a distância entre os pontos \( (0, 5) \) e \( (-\frac{5}{3}, 0) \) e a altura é a coordenada \( y \) do ponto \( (0, 5) \): - A base é \( \frac{5}{3} \) (distância no eixo \( x \)). - A altura é \( 5 \). A área \( A \) do triângulo é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} \times 5 = \frac{25}{6}. \] Portanto, a área da região triangular formada pela reta tangente e pelos eixos \( x \) e \( y \) é: (a) 25/6.