Para encontrar as derivadas parciais da função \( f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} \), precisamos aplicar a regra da cadeia. Vamos calcular: \( f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) \( f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) Analisando as opções: a) \( f_x(x,y) = x(x^2 + y^2) \) e \( f_y(x,y) = y(x^2 + y^2) \) - Essas derivadas não correspondem às derivadas parciais corretas da função dada. b) \( f_x(x,y) = x^3 \) e \( f_y(x,y) = y^2 \) - Essas derivadas também não estão corretas. c) \( f_x(x,y) = 2x(x^2 + y^2) \) e \( f_y(x,y) = 2y(x^2 + y^2) \) - Essas derivadas estão incorretas. d) \( (x^2 + y^2) f(x,y) = 0 \) - Esta opção não representa as derivadas parciais da função. e) \( f(x,y) = x^2 + y^2 \) e \( f_y(x,y) = y \sqrt{x^2 + y^2} \) - A primeira parte está correta, mas a segunda parte não corresponde à derivada parcial correta. Portanto, a opção correta é: a) \( f_x(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) e \( f_y(x,y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \)