QUESTÃO 23 (FEI)Se 0 a) sen x = 3 5b) sen x = −3 5c) sen x = 4 5d) sen x = 3 4e) sen x = 1 4

Question

QUESTÃO 23 (FEI)
Se 0 < x < π 2 e 3 · cossec2 x− 4 · cotg x = 3, então:

a) sen x = 3 5

b) sen x = −3 5

c) sen x = 4 5

d) sen x = 3 4

e) sen x ...

Ed · Answer

Vamos resolver a equação dada:

$$ 3 \cdot \csc^2 x - 4 \cdot \cot x = 3 $$

Sabemos que:

- $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$
- $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\sin x}$

Substituindo essas definições na equação, temos:

$$ 3 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} - 4 \cdot \frac{\sqrt{1 - \sin^2 x}}{\sin x} = 3 $$

Multiplicando toda a equação por $\sin^2 x$ para eliminar as frações, obtemos:

$$ 3 - 4 \sin x \sqrt{1 - \sin^2 x} = 3 \sin^2 x $$

Agora, simplificando:

$$ -4 \sin x \sqrt{1 - \sin^2 x} = 3 \sin^2 x - 3 $$

$$ -4 \sin x \sqrt{1 - \sin^2 x} = 3 (\sin^2 x - 1) $$

Sabemos que $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$, então:

$$ -4 \sin x \cos x = 3 (\sin^2 x - 1) $$

Agora, vamos testar as alternativas para encontrar o valor de $\sin x$.

1. **Alternativa a)** $ \sin x = \frac{3}{5} $
   - $\cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$
   - Verificando: $ -4 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{48}{25} $ e $ 3 \left(\frac{9}{25} - 1\right) = 3 \left(\frac{9}{25} - \frac{25}{25}\right) = 3 \left(-\frac{16}{25}\right) = -\frac{48}{25} $ (correto)

2. **Alternativa b)** $ \sin x = -\frac{3}{5} $ (não é válida, pois \(0

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar identidades trigonométricas para simplificar a expressão dada e encontrar o valor de sen(x).

Dada a equação: 3 · cossec^2(x) - 4 · cotg(x) = 3

Sabemos que cossec(x) = 1/sen(x) e cotg(x) = cos(x)/sen(x).

Substituindo esses valores na equação, temos: 3 · (1/sen^2(x)) - 4 · (cos(x)/sen(x)) = 3

Multiplicando toda a equação por sen^2(x), obtemos: 3 - 4cos(x) = 3sen^2(x)

Rearranjando a equação, temos: 3sen^2(x) + 4cos(x) = 3

Sabemos que sen^2(x) + cos^2(x) = 1 (identidade trigonométrica fundamental).

Substituindo sen^2(x) = 1 - cos^2(x) na equação, obtemos: 3(1 - cos^2(x)) + 4cos(x) = 3

Expandindo a equação, temos: 3 - 3cos^2(x) + 4cos(x) = 3

Rearranjando os termos, obtemos: 3cos^2(x) - 4cos(x) = 0

Fatorando a equação, temos: cos(x)(3cos(x) - 4) = 0

Portanto, cos(x) = 0 ou cos(x) = 4/3. Porém, como 0

Matemática

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QUESTÃO 1 (EEAR)
Do arco x sabe-se que sen x · cos x = 1
4 . Então, o valor de tg x+ cotg x é _ e a extremidade desse arco x pode estar no _ quadrante.

a) −4; 1º

b) −4; 2º

c) −2; 3º

d) −2; 4º

QUESTÃO 3 (FAMEMA)
Sendo x um número real, sabe-se que sen x+ cos x = 0, 8. O valor de sen3 x+ cos3 x é:

Obs: sen x é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x.

a) 0, 848.

b) 0, 866.

c) 0, 896.

d) 0, 912.

e) 0, 944.

QUESTÃO 4 (EsPCEx)
Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = 4 5 , então
√ 2 sec θ + 3tg θ é igual a

a) √ 2 2

b) 1 2

c) 5 √ 2 2

d) 3 2

e) √ 19 2 1

QUESTÃO 6 (EEAR)
Se sen x+cos x = 7 13 e se tg x = − 5 12 , então, no ciclo trigonométrico, x pertence ao ______ quadrante.

a) 1º

b) 2º

c) 3º

d) 4º

QUESTÃO 9 (EEAR)
Considere x um arco do 3º quadrante e cotangente de x igual a cotg x. Se sen x = − √ 2 2 , então o valor de A = tg x+ 2 cotg2x é

a) √ 3

b) √ 2

c) 2

d) 3

QUESTÃO 10 (UNICAMP)
Seja x um número real tal que sen x+ cos x = 0, 2. Logo, |sen x− cos x| é igual a

a) 0, 5

b) 0, 8

c) 1, 1

d) 1, 4

QUESTÃO 13 (USP-TRANSF)
Se tg x+ sec x = 1√ 2 O valor de sen x · cos x é

a) 3 √ 2 9

b) 2 √ 3 4

c) 1 4

d) − √ 2 4

e) −2 √ 2 9

QUESTÃO 15 (IFCE)
Considerando x ”= k · π, com k ∈ Z, o valor da expressão abaixo é:

3

(1 + cotg2x) · (1− cos2 x) cos

−π

3

a) 2

b) √ 3 2

c) 2 · √ 3 2

d) − √ 3 3

e) √ 3 6

QUESTÃO 16 (UNITAU)
Sabendo-se que θ é a medida de um ângulo agudo e que cos θ = 15 17 , é CORRETO afirmar que

a) sen θ = 8 15

b) tg θ = 8 17

c) cotg θ = 17 8

d) sec θ = 17 15

e) cossec θ = 15 8

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QUESTÃO 1 (EEAR)Do arco x sabe-se que sen x · cos x = 14 . Então, o valor de tg x+ cotg x é _______ e a extremidade desse arco x pode estar no _______ quadrante.a) −4; 1ºb) −4; 2ºc) −2; 3ºd) −2; 4º

QUESTÃO 3 (FAMEMA)Sendo x um número real, sabe-se que sen x+ cos x = 0, 8. O valor de sen3 x+ cos3 x é:Obs: sen x é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x.a) 0, 848.b) 0, 866.c) 0, 896.d) 0, 912.e) 0, 944.

QUESTÃO 4 (EsPCEx)Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = 4 5 , então√ 2 sec θ + 3tg θ é igual aa) √ 2 2b) 1 2c) 5 √ 2 2d) 3 2e) √ 19 2 1

QUESTÃO 6 (EEAR)Se sen x+cos x = 7 13 e se tg x = − 5 12 , então, no ciclo trigonométrico, x pertence ao ______ quadrante.a) 1ºb) 2ºc) 3ºd) 4º

QUESTÃO 9 (EEAR)Considere x um arco do 3º quadrante e cotangente de x igual a cotg x. Se sen x = − √ 2 2 , então o valor de A = tg x+ 2 cotg2x éa) √ 3b) √ 2c) 2d) 3

QUESTÃO 10 (UNICAMP)Seja x um número real tal que sen x+ cos x = 0, 2. Logo, |sen x− cos x| é igual aa) 0, 5b) 0, 8c) 1, 1d) 1, 4

QUESTÃO 13 (USP-TRANSF)Se tg x+ sec x = 1√ 2 O valor de sen x · cos x éa) 3 √ 2 9b) 2 √ 3 4c) 1 4d) − √ 2 4e) −2 √ 2 9

QUESTÃO 14 (UNITAU)Sabendo-se que sec (x) .cossec (x) = 3 √ 2 2 e cotg (x) = √ 2 2 para 0 < x < π 2 , o valor de sen (x) +cos (x) + tg (x) éa) 2 √ 3 + √ 6 + √ 2b) 1 2 √ 3 + 3 √ 6 + √ 2c) 1 3 √ 6 + √ 3 + 3 √ 2d) 1 3 (4 √ 3 + √ 6 + √ 2)e) 1 3 √ 3 + 2 √ 6 + √ 2

QUESTÃO 15 (IFCE)Considerando x ”= k · π, com k ∈ Z, o valor da expressão abaixo é:3(1 + cotg2x) · (1− cos2 x) cos−π3a) 2b) √ 3 2c) 2 · √ 3 2d) − √ 3 3e) √ 3 6

QUESTÃO 16 (UNITAU)Sabendo-se que θ é a medida de um ângulo agudo e que cos θ = 15 17 , é CORRETO afirmar quea) sen θ = 8 15b) tg θ = 8 17c) cotg θ = 17 8d) sec θ = 17 15e) cossec θ = 15 8

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4 . Então, o valor de tg x+ cotg x é _ e a extremidade desse arco x pode estar no _ quadrante.

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b) −4; 2º

c) −2; 3º

d) −2; 4º

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Sendo x um número real, sabe-se que sen x+ cos x = 0, 8. O valor de sen3 x+ cos3 x é:

Obs: sen x é o seno do número x e cos x é o cosseno do número x.

a) 0, 848.

b) 0, 866.

c) 0, 896.

d) 0, 912.

e) 0, 944.

QUESTÃO 4 (EsPCEx)
Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = 4 5 , então
√ 2 sec θ + 3tg θ é igual a

a) √ 2 2

b) 1 2

c) 5 √ 2 2

d) 3 2

e) √ 19 2 1

QUESTÃO 6 (EEAR)
Se sen x+cos x = 7 13 e se tg x = − 5 12 , então, no ciclo trigonométrico, x pertence ao ______ quadrante.

a) 1º

b) 2º

c) 3º

d) 4º

QUESTÃO 9 (EEAR)
Considere x um arco do 3º quadrante e cotangente de x igual a cotg x. Se sen x = − √ 2 2 , então o valor de A = tg x+ 2 cotg2x é

a) √ 3

b) √ 2

c) 2

d) 3

QUESTÃO 10 (UNICAMP)
Seja x um número real tal que sen x+ cos x = 0, 2. Logo, |sen x− cos x| é igual a

a) 0, 5

b) 0, 8

c) 1, 1

d) 1, 4

QUESTÃO 13 (USP-TRANSF)
Se tg x+ sec x = 1√ 2 O valor de sen x · cos x é

a) 3 √ 2 9

b) 2 √ 3 4

c) 1 4

d) − √ 2 4

e) −2 √ 2 9

QUESTÃO 15 (IFCE)
Considerando x ”= k · π, com k ∈ Z, o valor da expressão abaixo é:

3

(1 + cotg2x) · (1− cos2 x) cos

−π

3

a) 2

b) √ 3 2

c) 2 · √ 3 2

d) − √ 3 3

e) √ 3 6

QUESTÃO 16 (UNITAU)
Sabendo-se que θ é a medida de um ângulo agudo e que cos θ = 15 17 , é CORRETO afirmar que

a) sen θ = 8 15

b) tg θ = 8 17

c) cotg θ = 17 8

d) sec θ = 17 15

e) cossec θ = 15 8