Exercício 5 Considere a função f(x) = {x2sen(1/x) se x ≠ 0, 0 se x = 0. Calcular f ′(x).

Para calcular a derivada da função \( f(x) \), precisamos considerar os dois casos: 1. Para \( x \neq 0 \): A função é \( f(x) = x^2 \sin(1/x) \). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \sin(1/x) + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\sin(1/x)) \] A derivada de \( x^2 \) é \( 2x \) e a derivada de \( \sin(1/x) \) é \( \cos(1/x) \cdot (-1/x^2) \) (usando a regra da cadeia). Assim, temos: \[ f'(x) = 2x \sin(1/x) + x^2 \left( \cos(1/x) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \right) \] Simplificando: \[ f'(x) = 2x \sin(1/x) - \cos(1/x) \] 2. Para \( x = 0 \): Precisamos calcular a derivada usando o limite: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h) \] Como \( \sin(1/h) \) oscila entre -1 e 1, o limite é: \[ f'(0) = 0 \] Portanto, a derivada da função é: \[ f'(x) = \begin{cases} 2x \sin(1/x) - \cos(1/x) & \text{se } x \neq 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \end{cases} \]