Exercício 8 São dadas as funções f(x) = cos(x) e w(x) = x2 + 2x. Calcule (f ◦ g ◦ w ◦ h)′(1) usando a tabela a seguir. 2 h7−→ 1 1 h7−→ 2 3 h7−→ −4 ...

Para calcular \((f \circ g \circ w \circ h)'(1)\), precisamos aplicar a regra da cadeia e usar as informações da tabela. 1. Identificar \(h(1)\): - Da tabela, \(h(1) = 2\). 2. Identificar \(w(h(1)) = w(2)\): - \(w(x) = x^2 + 2x\), então \(w(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8\). 3. Identificar \(g(w(h(1))) = g(8)\): - Da tabela, \(g(8) = \frac{\pi}{2}\). 4. Identificar \(f(g(w(h(1)))) = f(g(8)) = f\left(\frac{\pi}{2}\right)\): - \(f(x) = \cos(x)\), então \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Agora, precisamos calcular a derivada usando a regra da cadeia: \[ (f \circ g \circ w \circ h)'(1) = f'(g(w(h(1)))) \cdot g'(w(h(1))) \cdot w'(h(1)) \cdot h'(1) \] 5. Calcular \(f'(x)\): - \(f'(x) = -\sin(x)\), então \(f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\). 6. Calcular \(g'(w(h(1))) = g'(8)\): - Da tabela, \(g'(8) = \sqrt{7}\). 7. Calcular \(w'(x)\): - \(w'(x) = 2x + 2\), então \(w'(h(1)) = w'(2) = 2 \cdot 2 + 2 = 4 + 2 = 6\). 8. Calcular \(h'(1)\): - Da tabela, \(h'(1) = 4\). Agora, juntando tudo: \[ (f \circ g \circ w \circ h)'(1) = (-1) \cdot \sqrt{7} \cdot 6 \cdot 4 \] Calculando: \[ = -1 \cdot \sqrt{7} \cdot 24 = -24\sqrt{7} \] Portanto, a resposta é: \[ (f \circ g \circ w \circ h)'(1) = -24\sqrt{7} \]