Grátis: As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, ... – Questões Respondidas

Cálculo Vetorial

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As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. é uma integral que mensura volume. II. , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume. III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz. IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas. Está correto apenas o que se afirma em:

II e IV.
I, II e IV.
I, II e III.

Aprendendo Através de Exercícios

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gabarito Cálculo Vetorial e Edo

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Respostas

Ed

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Vamos analisar cada afirmativa: I. "é uma integral que mensura volume." - Esta afirmativa está incompleta e não fornece informações suficientes para ser avaliada. Portanto, não podemos considerá-la correta. II. "sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume." - Verdadeira, pois integrais duplas em regiões retangulares podem, de fato, mensurar volumes. III. "Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz." - Verdadeira, essa é a forma correta de expressar um volume infinitesimal em coordenadas cartesianas. IV. "As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas." - Falsa, pois a escolha do sistema de coordenadas depende do problema em questão. Em muitos casos, coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas podem ser mais adequadas. Com base nas análises, as afirmativas corretas são II e III. Portanto, a alternativa que contém todos os itens verdadeiros é: I, II e III.

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Uma função é uma regra que associa elementos de dois conjuntos. Assim como em funções de uma variável, para funções de várias variáveis há os conceitos de domínio e contradomínio. Sendo o domínio os elementos de “entrada” da regra e o contradomínio os de “saída”. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas variáveis e conjuntos, analise as afirmacoes a seguir. I. O par ordenado (-2, 1) pertence ao domínio da função f(x,y) = √(x+y). II. O contradomínio da função f(x,y) =√(x+y) é o conjunto dos reais positivos. III. O par ordenado (-2,-2) pertence ao domínio da função f(x,y) =√(x²+y²). IV. As relações {(0,1)≥0, (0,2)≥1, (0,2)≥3} representam uma função de duas variáveis. Está correto apenas o que se afirma em:

I, III e IV
II e III
II e IV
I, II e IV
I e II

Em limite de funções de uma variável, há apenas duas formas de se aproximar do ponto do qual se quer calcular o limite. Pode-se aproximar pela esquerda ou pela direita. Neste contexto, diz-se que o limite de f(x) existe quando L1=L2, isto é, se os limites laterais convergem para o mesmo número. Em duas variáveis, não há apenas dois sentidos para se aproximar do ponto (a,b), há infinitas direções e caminhos. Considerando essas informações e seus conhecimentos de limites, quando o limite em funções de duas variáveis existe é porque:

f(x,y) está definido em (a,b).
existe pelo menos um caminho que se aproxima de (a,b) e converge para um número real L.
a é igual a b.
os limites laterais por x e por y convergem para a mesma constante, isto é, o limite por todos os caminhos que se aproximam de (a,b) convergem para a mesma constante L.

É importante entender o comportamento geral de uma função de duas variáveis. Para isso, deve-se observar atentamente quais são as componentes em cada direção dessa função. Isto é, quais os tipos de função, ordem polinomial etc. Por exemplo, em uma variável, a função f(x)=sin x é periódica, portanto, sua representação gráfica também deve ser. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas varáveis, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características. 1) f(x,y)=x^2+y^2; 2) f(x,y)=1-x^2; 3) f(x,y)=sin x; 4) f(x,y)=x+y; Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

1, 2, 3, 4.
3, 2, 4, 1.
3, 1, 4, 2.
4, 3, 1, 2.
2, 3, 4, 1.

Em funções de uma variável, uma função é contínua quando, para todo a pertencente ao domínio da função. Isto é, o limite da função no ponto existe, a função no ponto está definida e ambos são iguais para todo ponto do domínio. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre continuidade de funções de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. Uma função f(x,y) é contínua quando para todo (a,b) pertencente ao domínio. II. A função é contínua no domínio. III. A função definida por partes f é descontínua. IV. A função definida por partes é descontínua. Está correto apenas o que se afirma em:

II, III e IV.
II e IV.
I e II.
I, II e IV.

Funções de três variáveis é uma regra que associa pontos com três coordenadas a um número. Por ter três números de entrada, podem ser interpretadas como funções que representam propriedades ao longo de um certo volume. Assim, dada uma função, é necessário saber reconhecer qual o volume em questão. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de três variáveis e conjuntos, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio da função f(x,y,z)=√(1-x²-y²-z²) é D={(x,y,z) | x²+y²+z²≥1}. II. Funções de três variáveis podem ser representados em um espaço de três dimensões. III. As curvas de nível de uma função de três variáveis podem ser representadas em um espaço de três dimensões. IV. O domínio da função f(x,y,z)=√(16-x²-y²)/(x-z+2) é D={(x,y,z) | x²+y²≤16 e z≠x+2}. Está correto apenas o que se afirma em:

I, II e III.
I, III e IV.
I, II e IV.
II e IV.

Ao estudar funções reais de várias variáveis reais, observa-se que as relações funcionais, ou seja, as relações que associam conjuntos, alteram-se conforme aumentam o número de variáveis. Em uma função real de uma variável, a relação é feita tendo como base duas retas reais, por exemplo, mas isso não se mantém para as outras relações funcionais. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre relações funcionais de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir. I. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R³. II. O contradomínio de uma função real de três variáveis é subconjunto de R. III. O contradomínio de uma função real de cinco variáveis é subconjunto de R. IV. O domínio de uma função de três variáveis é subconjunto de R³. Está correto apenas o que se afirma em:

II, III e IV.
II e IV.
I e II.
I, III e IV.
I, II e IV.

ira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial. II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial. III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial. IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

V, F, F, F.
V, F, V, F.
F, V, F, V.
V, V, F, V.
V, V, F, F.

Para calcular o divergente de um campo vetorial, primeiro se faz a derivada parcial das componentes em suas respectivas direções (lembrando que i, j e k representam as componentes nas direções de x, y e z). Depois, essas derivadas parciais são somadas, resultando em um campo escalar. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre campos vetoriais divergentes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xzi+xyzj-y2 k, o divergente é ∇∙F=zi+xzj. II. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=xyzi-x2 yk, o divergente é ∇∙F=yz. III. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=cosxzj-sinxyk, o divergente é ∇∙F=0. IV. ( ) Dado o campo vetorial F(x,y,z)=ex sinyi+ex cosyj+zk, o divergente é ∇∙F=2ex siny+1. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

V, V, F, F.
V, F, V, F.
F, F, V, V.
V, F, F, V.
F, V, V, F.

Curvas de níveis são as regiões em uma função em que ela possui sempre o mesmo valor. Para a construção de curvas de níveis, basta fazer f(x,y)=k, no qual k corresponde a uma constante. Isso equivale a fazer um mapa das linhas da função onde a função tem o mesmo valor k. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre curvas, analise as funções disponíveis a seguir e associe-as com suas respectivas características. 1) f(x,y)=cos (x)+sen(y). 2) f(x,y)=4x+3y. 3) f(x,y)=(x+y)/(x2+y2 ). 4) f(x,y)=y^2. Curvas de níveis: Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

1, 2, 3, 4.
4, 3, 1, 2.
3, 2, 4, 1.
2, 3, 4, 1.
3, 1, 4, 2.

Para fazer o esboço de uma função, um dos primeiros passos é entender onde a função cruza os eixos das coordenadas cartesianas. Para se determinar isso, basta zerar as outras variáveis referentes aos outros eixos. Por exemplo, f(x,y)=x+y2-3, fazendo y=0, temos f(x,0)=x-3. Fazendo f(x,0)=0, temos que a função cruza o eixo x em x=3. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s). I. ( ) A função f(x,y)=1 não cruza os eixos x e y. II. ( ) A função f(x,y)=1-x-y cruza os eixos x e y respectivamente em x=1 e y=1. III. ( ) A função f(x,y)=√(x2+y2 ) cruza o eixo y em y=1. IV. ( ) A função f(x,y)=√(16+x2+y2 ) cruza o eixo z em f(0,0)=4. Agora assinale a alternativa que representa a sequência correta:

V, V, V, F
V, V, F, F
V, F, V, F
V, V, F, V