Para resolver a equação dada, vamos analisar cada parte. Primeiro, calculamos \( \text{cis}(7\pi/6) \) e \( \text{cis}(-7\pi/6) \): 1. Cálculo de \( \text{cis}(7\pi/6) \): \[ \text{cis}(7\pi/6) = \cos(7\pi/6) + i\sin(7\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \] 2. Cálculo de \( \text{cis}(-7\pi/6) \): \[ \text{cis}(-7\pi/6) = \cos(-7\pi/6) + i\sin(-7\pi/6) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \] Agora, substituímos na equação: \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i - 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) \] Simplificando: \[ -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i + \sqrt{3} - i = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i \] Agora, precisamos calcular o determinante da matriz dada: \[ \begin{vmatrix} -\sqrt{3} & -i \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\sqrt{3} & \alpha i \\ 5\sqrt{3} & -\frac{i}{2} \end{vmatrix} \] Para simplificar, vamos focar na equação que iguala o resultado do determinante a \( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2}i \). Após calcular o determinante e igualar as partes reais e imaginárias, encontramos o valor de \( \alpha \). Após a análise, o valor que satisfaz a equação é: (D) \( \sqrt{3}/8 \).