Para determinar o maior inteiro \( k \) para o qual o polinômio \( g(x) = x^5 + x^4 - 2x^3 + bx^2 + bx - 2b \) é divisível por \( (x + 2)^k \), precisamos usar o Teorema do Resto. Isso significa que devemos avaliar \( g(-2) \) e suas derivadas até que o resultado não seja mais zero. 1. Calcular \( g(-2) \): \[ g(-2) = (-2)^5 + (-2)^4 - 2(-2)^3 + b(-2)^2 + b(-2) - 2b \] \[ = -32 + 16 + 16 + 4b - 2b - 2b \] \[ = -32 + 16 + 16 + 0b = -32 \] Portanto, \( g(-2) \neq 0 \). Isso significa que \( g(x) \) não é divisível por \( (x + 2)^1 \). 2. Calcular \( g'(-2) \): Primeiro, precisamos encontrar a derivada \( g'(x) \): \[ g'(x) = 5x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 2bx + b \] Agora, avaliamos \( g'(-2) \): \[ g'(-2) = 5(-2)^4 + 4(-2)^3 - 6(-2)^2 + 2b(-2) + b \] \[ = 5(16) + 4(-8) - 6(4) - 4b + b \] \[ = 80 - 32 - 24 - 4b + b \] \[ = 24 - 3b \] Para que \( g'(-2) = 0 \), temos: \[ 24 - 3b = 0 \implies b = 8 \] 3. Calcular \( g''(-2) \): Agora, precisamos da segunda derivada \( g''(x) \): \[ g''(x) = 20x^3 + 12x^2 - 12x + 2b \] Avaliando \( g''(-2) \): \[ g''(-2) = 20(-2)^3 + 12(-2)^2 - 12(-2) + 2(8) \] \[ = 20(-8) + 12(4) + 24 + 16 \] \[ = -160 + 48 + 24 + 16 = -72 \] Como \( g''(-2) \neq 0 \), não é divisível por \( (x + 2)^3 \). Portanto, o maior inteiro \( k \) para o qual \( g(x) \) é divisível por \( (x + 2)^k \) é 2. A resposta correta é: (B) 2.