O número de soluções inteiras da inequação (x+1)(x9−1)(x2−x+1)(x2−10x+21) (x6−1)(x6+x3+1) < 0 é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Para resolver a inequação \((x+1)(x^9−1)(x^2−x+1)(x^2−10x+21)(x^6−1)(x^6+x^3+1) < 0\), precisamos analisar os fatores e determinar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. 1. Identificar os zeros de cada fator: - \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) - \(x^9 - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) (multiplicidade 9) - \(x^2 - x + 1\) não tem raízes reais (discriminante < 0). - \(x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-7) = 0 \Rightarrow x = 3, 7\) - \(x^6 - 1 = 0 \Rightarrow x = -1, 1, \omega, \omega^2, \ldots\) (onde \(\omega\) são as raízes da unidade, mas focamos nas reais: -1 e 1) - \(x^6 + x^3 + 1 = 0\) não tem raízes reais. 2. Pontos críticos: - Os pontos críticos são: \(x = -1, 1, 3, 7\). 3. Análise de sinais: - Precisamos testar os intervalos definidos pelos pontos críticos: \((-∞, -1)\), \((-1, 1)\), \((1, 3)\), \((3, 7)\), \((7, +∞)\). 4. Testando os intervalos: - Para cada intervalo, escolhemos um valor e verificamos o sinal da expressão. Após a análise, encontramos que a inequação é negativa em 4 intervalos distintos. Portanto, a resposta correta é: (B) 4.