Para resolver a questão, vamos primeiro entender os vetores dados. 1. Vetor \( \mathbf{u} \): O vetor \( \mathbf{u} \) é dado como \( (-1, 0, 2) \). 2. Vetor \( \mathbf{v} \): O vetor \( \mathbf{v} \) é paralelo a \( (1, 1, 1) \) e tem módulo \( 4\sqrt{3} \). Para encontrar \( \mathbf{v} \), podemos escrever: \[ \mathbf{v} = k(1, 1, 1) \] onde \( k \) é um escalar. O módulo de \( \mathbf{v} \) é dado por: \[ \sqrt{k^2 + k^2 + k^2} = \sqrt{3k^2} = k\sqrt{3} \] Igualando ao módulo \( 4\sqrt{3} \): \[ k\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \implies k = 4 \] Portanto, \( \mathbf{v} = (4, 4, 4) \). 3. Componente z positiva: Como \( \mathbf{v} \) já tem a componente z positiva, está tudo certo. Agora, vamos calcular \( w \): \[ w = 3\mathbf{u} + 27 \] Substituindo \( \mathbf{u} \): \[ w = 3(-1, 0, 2) + 27 = (-3, 0, 6) + 27 \] Aqui, 27 é um escalar, então precisamos entender como ele se aplica. Se considerarmos que 27 é um vetor \( (27, 27, 27) \): \[ w = (-3 + 27, 0 + 27, 6 + 27) = (24, 27, 33) \] Assim, o valor de \( w \) é \( (24, 27, 33) \).