Para resolver o problema utilizando o método de Euler, seguimos os seguintes passos: 1. Definição do problema: - A equação diferencial é \( y' = y - 2x \). - A condição inicial é \( y(0) = 1 \). - O passo \( h = 0,1 \). 2. Cálculo das aproximações: - Usamos a fórmula do método de Euler: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \] onde \( f(x, y) = y - 2x \). 3. Malha: - Os pontos na malha de [0, 1] com \( h = 0,1 \) são: \( x_0 = 0, x_1 = 0,1, x_2 = 0,2, x_3 = 0,3, x_4 = 0,4 \). 4. Cálculos: - Para \( n = 0 \): - \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 1 \) - \( f(0, 1) = 1 - 2 \cdot 0 = 1 \) - \( y_1 = 1 + 0,1 \cdot 1 = 1,1 \) - Para \( n = 1 \): - \( x_1 = 0,1 \), \( y_1 = 1,1 \) - \( f(0,1, 1,1) = 1,1 - 2 \cdot 0,1 = 1,1 - 0,2 = 0,9 \) - \( y_2 = 1,1 + 0,1 \cdot 0,9 = 1,1 + 0,09 = 1,19 \) - Para \( n = 2 \): - \( x_2 = 0,2 \), \( y_2 = 1,19 \) - \( f(0,2, 1,19) = 1,19 - 2 \cdot 0,2 = 1,19 - 0,4 = 0,79 \) - \( y_3 = 1,19 + 0,1 \cdot 0,79 = 1,19 + 0,079 = 1,269 \) - Para \( n = 3 \): - \( x_3 = 0,3 \), \( y_3 = 1,269 \) - \( f(0,3, 1,269) = 1,269 - 2 \cdot 0,3 = 1,269 - 0,6 = 0,669 \) - \( y_4 = 1,269 + 0,1 \cdot 0,669 = 1,269 + 0,0669 = 1,3359 \) 5. Resultados: - \( y_0 = 1 \) - \( y_1 = 1,1 \) - \( y_2 = 1,19 \) - \( y_3 = 1,269 \) - \( y_4 = 1,3359 \) Essas são as quatro aproximações para a solução do PVI usando o método de Euler.