Achar aproximações para a solução do PVI: y′ = 1/x com y(1) = 1, na malha de [1; 2] com h = 0, 1, pelo método de Euler. Fazer 4 aproximações.

Para resolver o problema de valor inicial (PVI) \( y' = \frac{1}{x} \) com \( y(1) = 1 \) usando o método de Euler na malha de \([1; 2]\) com \( h = 0,1 \), siga os passos abaixo: 1. Defina os parâmetros: - \( x_0 = 1 \) - \( y_0 = 1 \) - \( h = 0,1 \) 2. Calcule os pontos \( x \): - \( x_1 = x_0 + h = 1 + 0,1 = 1,1 \) - \( x_2 = x_1 + h = 1,1 + 0,1 = 1,2 \) - \( x_3 = x_2 + h = 1,2 + 0,1 = 1,3 \) - \( x_4 = x_3 + h = 1,3 + 0,1 = 1,4 \) 3. Aplique o método de Euler: - A fórmula do método de Euler é: \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \] onde \( f(x, y) = \frac{1}{x} \). 4. Realize os cálculos: - Para \( n = 0 \): \[ y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0,1 \cdot \frac{1}{1} = 1 + 0,1 = 1,1 \] - Para \( n = 1 \): \[ y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = 1,1 + 0,1 \cdot \frac{1}{1,1} \approx 1,1 + 0,1 \cdot 0,9091 \approx 1,1 + 0,0909 \approx 1,1909 \] - Para \( n = 2 \): \[ y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = 1,1909 + 0,1 \cdot \frac{1}{1,2} \approx 1,1909 + 0,1 \cdot 0,8333 \approx 1,1909 + 0,0833 \approx 1,2742 \] - Para \( n = 3 \): \[ y_4 = y_3 + h \cdot f(x_3, y_3) = 1,2742 + 0,1 \cdot \frac{1}{1,3} \approx 1,2742 + 0,1 \cdot 0,7692 \approx 1,2742 + 0,0769 \approx 1,3511 \] 5. Resultados finais: - \( y_1 \approx 1,1 \) - \( y_2 \approx 1,1909 \) - \( y_3 \approx 1,2742 \) - \( y_4 \approx 1,3511 \) Essas são as quatro aproximações para a solução do PVI usando o método de Euler.