31) Calcular o valor de π, com n = 8 dado pela expressão: π = 4 ∫ 1 0 dx/(1 + x²) aplicando a primeira regra de Simpson, com ϵ ≤ 10−4.

Para calcular o valor de π usando a primeira regra de Simpson com \( n = 8 \) na integral \( \pi = 4 \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} \), siga os passos abaixo: 1. Defina a função: \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \). 2. Determine o intervalo: O intervalo é de 0 a 1. 3. Calcule o passo \( h \): \[ h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - 0}{8} = \frac{1}{8} = 0,125 \] 4. Calcule os pontos: - \( x_0 = 0 \) - \( x_1 = 0,125 \) - \( x_2 = 0,25 \) - \( x_3 = 0,375 \) - \( x_4 = 0,5 \) - \( x_5 = 0,625 \) - \( x_6 = 0,75 \) - \( x_7 = 0,875 \) - \( x_8 = 1 \) 5. Calcule os valores da função: - \( f(x_0) = f(0) = 1 \) - \( f(x_1) = f(0,125) = \frac{1}{1 + (0,125)^2} \approx 0,984 \) - \( f(x_2) = f(0,25) = \frac{1}{1 + (0,25)^2} = 0,8 \) - \( f(x_3) = f(0,375) = \frac{1}{1 + (0,375)^2} \approx 0,707 \) - \( f(x_4) = f(0,5) = \frac{1}{1 + (0,5)^2} = 0,6667 \) - \( f(x_5) = f(0,625) = \frac{1}{1 + (0,625)^2} \approx 0,64 \) - \( f(x_6) = f(0,75) = \frac{1}{1 + (0,75)^2} \approx 0,57 \) - \( f(x_7) = f(0,875) = \frac{1}{1 + (0,875)^2} \approx 0,49 \) - \( f(x_8) = f(1) = \frac{1}{1 + 1^2} = 0,5 \) 6. Aplique a regra de Simpson: \[ \int_0^1 f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + 4f(x_5) + 2f(x_6) + 4f(x_7) + f(x_8) \right) \] Substituindo os valores: \[ \int_0^1 f(x) \, dx \approx \frac{0,125}{3} \left( 1 + 4(0,984) + 2(0,8) + 4(0,707) + 2(0,6667) + 4(0,64) + 2(0,57) + 4(0,49) + 0,5 \right) \] Calculando: \[ \approx \frac{0,125}{3} \left( 1 + 3,936 + 1,6 + 2,828 + 1,3334 + 2,56 + 1,14 + 1,96 + 0,5 \right) \] \[ \approx \frac{0,125}{3} \left( 17,3974 \right) \approx 0,724 \] 7. Multiplique por 4 para obter π: \[ \pi \approx 4 \times 0,724 \approx 2,896 \] Esse é o valor aproximado de π usando a primeira regra de Simpson com \( n = 8 \). Para garantir que a precisão \( \epsilon \leq 10^{-4} \) seja atendida, você pode aumentar \( n \) e repetir o processo até que a diferença entre os resultados seja menor que \( 10^{-4} \).