Determine ∬S sen (x²+y²) dx dy, usando a integral dupla na forma polar, onde S é a região definida por x²+y²≤π e x≥0. 3π/3 4π/4 5π/5 π 2π/2

Para resolver a integral dupla \(\iint_S \sin(x^2 + y^2) \, dx \, dy\) na região \(S\) definida por \(x^2 + y^2 \leq \pi\) e \(x \geq 0\), vamos usar coordenadas polares. 1. Mudança para coordenadas polares: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - O jacobiano da transformação é \(r\). 2. Limites de integração: - A região \(S\) em coordenadas polares é \(0 \leq r \leq \sqrt{\pi}\) e \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) (já que \(x \geq 0\)). 3. Reescrevendo a integral: \[ \iint_S \sin(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sqrt{\pi}} \sin(r^2) \cdot r \, dr \, d\theta \] 4. Resolvendo a integral em \(r\): - A integral em \(r\) é: \[ \int_0^{\sqrt{\pi}} r \sin(r^2) \, dr \] - Usando a substituição \(u = r^2\), temos \(du = 2r \, dr\) ou \(dr = \frac{du}{2r}\). Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} \left[-\cos(u)\right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} [1 - (-1)] = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] 5. Integrando em \(\theta\): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \] 6. Resultado final: \[ \iint_S \sin(x^2 + y^2) \, dx \, dy = \frac{\pi}{2} \] Portanto, a resposta correta é \(\frac{\pi}{2}\).