Grátis: As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, ... – Questões Respondidas

Cálculo Vetorial

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As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir: I. é uma integral que mensura volume. II. , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume. III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz. IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas. Está correto apenas o que se afirma em:

II e IV.
I, II e III.
I, II e IV.
I, III e IV.
I e II.

Desafios para Aprender

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Ed

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Vamos analisar cada afirmativa: I. "é uma integral que mensura volume." - Esta afirmativa está incompleta, mas se referir a uma integral que mensura volume pode ser verdade, dependendo do contexto. No entanto, não está clara. II. "sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume." - Verdadeira, integrais duplas em regiões retangulares realmente mensuram volume. III. "Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz." - Verdadeira, essa é a forma correta de expressar um volume infinitesimal em coordenadas cartesianas. IV. "As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas." - Falsa, a escolha do sistema de coordenadas depende do problema em questão. Em muitos casos, coordenadas polares, cilíndricas ou esféricas podem ser mais adequadas. Com base nas análises: - Afirmativas II e III são verdadeiras. - Afirmativa I é ambígua e não está clara. - Afirmativa IV é falsa. Portanto, a alternativa correta que contém todas as afirmativas verdadeiras é: I, II e III.

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Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II). De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma . III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y. IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

V, V, V, F.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
F, F, V, V.
F, V, V, F.

Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha. De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir: I. A função descreve um campo vetorial. II. A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica. III. é uma representação de uma integral de linha. IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo. Está correto apenas o que se afirma em:

II e IV.
I, II e III.
II, III e IV.
I, III e IV.
I e II.

A soma de Riemann em uma variável consiste em dividir uma curva em n retângulos de largura delta , sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma de Riemann é: , onde x e y são pontos amostrais. Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann: I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e . II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório. III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo. IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

4, 3, 2, 1.
2, 1, 3, 4.
1, 2, 4, 3.
3, 4, 1, 2.
1, 3, 2, 4.

As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla: . Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV. II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com relação a . III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas. IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

V, F, F, V.
V, F, V, F.
F, V, F, V.
F, V, V, F.
V, V, F, F.

Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula. Ocultar opções de resposta

o caminho fechado permite definir um volume.
o caminho aberto poder ter singularidades.
só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horária.
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.

Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II). De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma . III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y. IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

V, V, V, F.
F, V, F, V.
V, V, F, F.
F, V, V, F.
F, F, V, V.

As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla: . Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV. II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com relação a . III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas. IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:

F, V, V, F.
V, F, F, V.
V, F, V, F.
V, V, F, F.
F, V, F, V.

Acerca dos seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma. III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y. IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

Incorreta: F, V, F, V.
V, V, F, F.
F, V, V, F.
F, F, V, V.
Resposta correta: V, V, V, F.

Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann: I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e . II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório. III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo. IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

Incorreta: 4, 3, 2, 1.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
1, 2, 4, 3.
Resposta correta: 1, 3, 2, 4.