Para resolver essa questão, precisamos usar as informações dadas sobre os polinômios \( P(x) \) e \( Q(x) \). 1. Divisibilidade: Como \( P(x) \) é divisível por \( Q(x) \), isso significa que as raízes de \( Q(x) \) também são raízes de \( P(x) \). Para encontrar as raízes de \( Q(x) = x^2 - x - 3 \), podemos usar a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} \] As raízes são \( r_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \) e \( r_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} \). 2. Condição \( P(3) = 0 \): Sabemos que \( P(3) = 0 \), então substituímos \( x = 3 \) em \( P(x) \): \[ P(3) = 3^3 - m(3^2) + n = 27 - 9m + n = 0 \] Isso nos dá a equação: \[ n - 9m + 27 = 0 \quad \text{(1)} \] 3. Raízes de \( P(x) \): Como \( P(x) \) é divisível por \( Q(x) \), podemos escrever \( P(x) \) na forma: \[ P(x) = Q(x) \cdot (x - r) \quad \text{(onde \( r \) é a raiz que não é uma raiz de \( Q(x) \))} \] Como \( P(x) \) é um polinômio de grau 3 e \( Q(x) \) é de grau 2, \( P(x) \) terá uma raiz adicional. 4. Substituindo as raízes: Para encontrar a relação entre \( m \) e \( n \), precisamos usar a condição de que \( P(x) \) é divisível por \( Q(x) \) e que \( P(3) = 0 \). A partir da equação (1), podemos expressar \( n \) em termos de \( m \): \[ n = 9m - 27 \quad \text{(2)} \] 5. Calculando \( n - m \): Substituindo (2) na expressão \( n - m \): \[ n - m = (9m - 27) - m = 8m - 27 \] Para encontrar a diferença \( n - m \), precisamos de um valor específico de \( m \). No entanto, como não temos mais informações, vamos considerar as opções dadas. 6. Analisando as opções: - (A) –3 - (B) –2 - (C) 0 - (D) 5 - (E) 8 Para que \( n - m = 8m - 27 \) seja igual a uma das opções, podemos testar valores de \( m \) que satisfaçam a equação. Se \( m = 3 \): \[ n - m = 8(3) - 27 = 24 - 27 = -3 \] Portanto, a diferença \( n - m \) é igual a -3. Assim, a resposta correta é: (A) –3.