3) Encontre a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico de z = √(x2/9 + y2/4) − 1 com o plano y = 4 no ponto (3, 4, 2).

Para encontrar a inclinação da reta tangente à curva de interseção do gráfico \( z = \sqrt{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}} - 1 \) com o plano \( y = 4 \) no ponto \( (3, 4, 2) \), siga os passos abaixo: 1. Substitua \( y = 4 \) na equação de \( z \): \[ z = \sqrt{\frac{x^2}{9} + \frac{4^2}{4}} - 1 = \sqrt{\frac{x^2}{9} + 4} - 1 \] 2. Simplifique a equação: \[ z = \sqrt{\frac{x^2}{9} + 4} - 1 \] 3. Calcule a derivada \( \frac{dz}{dx} \) usando a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2}{9} + 4}} \cdot \frac{2x}{9} = \frac{x}{9\sqrt{\frac{x^2}{9} + 4}} \] 4. Avalie a derivada no ponto \( x = 3 \): \[ \frac{dz}{dx} \bigg|_{x=3} = \frac{3}{9\sqrt{\frac{3^2}{9} + 4}} = \frac{3}{9\sqrt{1 + 4}} = \frac{3}{9\sqrt{5}} = \frac{1}{3\sqrt{5}} \] 5. A inclinação da reta tangente é \( \frac{dz}{dx} \) no ponto \( (3, 4, 2) \): \[ \text{Inclinação} = \frac{1}{3\sqrt{5}} \] Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado é \( \frac{1}{3\sqrt{5}} \).