Para verificar se as funções são diferenciáveis, precisamos considerar se elas são contínuas e se suas derivadas parciais existem e são contínuas. Vamos analisar cada uma: (a) \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) Essa função é um polinômio e, portanto, é diferenciável em todo o \(\mathbb{R}^2\). (b) \( f(x, y) = e^{x - y^2} \) A função exponencial é diferenciável em todo o \(\mathbb{R}^2\), então essa função também é diferenciável. (c) \( f(x, y) = x \cos(x^2 + y^2) \) A função \( \cos \) é diferenciável e o produto de funções diferenciáveis também é diferenciável. Portanto, essa função é diferenciável. (d) \( f(x, y) = \ln(1 + x^2 + y^2) \) A função \( \ln \) é diferenciável onde seu argumento é positivo. Como \( 1 + x^2 + y^2 > 0 \) para todo \( (x, y) \), essa função é diferenciável em todo o \(\mathbb{R}^2\). Portanto, todas as funções (a), (b), (c) e (d) são diferenciáveis.