Para determinar o maior conjunto de pontos em que a função é diferenciável, precisamos analisar a função dada. (a) A função \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} \) para \((x, y) \neq (0, 0)\) e \( f(0, 0) = 0 \). 1. Diferenciabilidade em \((x, y) \neq (0, 0)\): A função é uma fração de polinômios, e como o denominador \(x^2 + y^2\) não é zero para \((x, y) \neq (0, 0)\), a função é diferenciável em todos esses pontos. 2. Diferenciabilidade em \((0, 0)\): Para verificar a diferenciabilidade em \((0, 0)\), precisamos verificar se o limite da derivada direcional existe e é o mesmo para todas as direções. Calculamos: \[ \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{f(x, y) - f(0, 0)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\frac{xy}{x^2 + y^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}}. \] Mudando para coordenadas polares, onde \(x = r \cos(\theta)\) e \(y = r \sin(\theta)\): \[ f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) = \frac{r^2 \cos(\theta) \sin(\theta)}{r^2} = \cos(\theta) \sin(\theta). \] O limite depende de \(\theta\), portanto, não existe. Assim, a função não é diferenciável em \((0, 0)\). Conclusão: A função é diferenciável em todos os pontos \((x, y) \neq (0, 0)\). Portanto, o maior conjunto de pontos em que a função é diferenciável é \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}\).