6) Seja f(x, y) = x2/9 + y2/25. Encontre uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (6, 10, 8).

Para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função \( f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} \) no ponto \( (6, 10, 8) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule as derivadas parciais: - \( f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{9} \) - \( f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{25} \) 2. Avalie as derivadas no ponto \( (6, 10) \): - \( f_x(6, 10) = \frac{2 \cdot 6}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \) - \( f_y(6, 10) = \frac{2 \cdot 10}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \) 3. Use a fórmula do plano tangente: A equação do plano tangente em um ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) é dada por: \[ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \] 4. Substitua os valores: - \( (x_0, y_0, z_0) = (6, 10, 8) \) - \( f(6, 10) = 8 \) - Portanto, a equação do plano tangente é: \[ z = 8 + \frac{4}{3}(x - 6) + \frac{4}{5}(y - 10) \] 5. Simplifique a equação: \[ z = 8 + \frac{4}{3}x - 8 + \frac{4}{5}y - 8 \] \[ z = \frac{4}{3}x + \frac{4}{5}y - \frac{8}{3} - 8 \] Assim, a equação do plano tangente ao gráfico de \( f \) no ponto \( (6, 10, 8) \) é: \[ z = \frac{4}{3}x + \frac{4}{5}y - \frac{8}{3} - 8 \]