Para resolver a questão, precisamos calcular o divergente e o rotacional do campo vetorial \( F(x, y, z) = 2yz \hat{i} + (x^2 z - y) \hat{j} + x^2 \hat{k} \) e, em seguida, determinar o produto entre eles no ponto \( (1, 0, 2) \). 1. Cálculo do divergente (\( \nabla \cdot F \)): O divergente é dado por: \[ \nabla \cdot F = \frac{\partial}{\partial x}(2yz) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 z - y) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2) \] Calculando cada termo: - \( \frac{\partial}{\partial x}(2yz) = 0 \) - \( \frac{\partial}{\partial y}(x^2 z - y) = -1 \) - \( \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0 \) Portanto, o divergente é: \[ \nabla \cdot F = 0 - 1 + 0 = -1 \] 2. Cálculo do rotacional (\( \nabla \times F \)): O rotacional é dado por: \[ \nabla \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2yz & x^2 z - y & x^2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \nabla \times F = \hat{i} \left( \frac{\partial}{\partial y}(x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2 z - y) \right) - \hat{j} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(2yz) \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2 z - y) - \frac{\partial}{\partial y}(2yz) \right) \] Calculando cada componente: - Para \( \hat{i} \): \( 0 - x^2 = -x^2 \) - Para \( \hat{j} \): \( 2x - 0 = 2x \) - Para \( \hat{k} \): \( 2xz - 2z = 2z(x - 1) \) Assim, o rotacional é: \[ \nabla \times F = -x^2 \hat{i} - 2x \hat{j} + 2z(x - 1) \hat{k} \] 3. Avaliando no ponto \( (1, 0, 2) \): Substituindo \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( z = 2 \): - \( \nabla \cdot F = -1 \) - \( \nabla \times F = -1^2 \hat{i} - 2(1) \hat{j} + 2(2)(1 - 1) \hat{k} = -1 \hat{i} - 2 \hat{j} + 0 \hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} \) 4. Produto entre o divergente e o rotacional: O produto é: \[ (-1)(-\hat{i} - 2\hat{j}) = \hat{i} + 2\hat{j} \] Como o resultado é um vetor, o valor do produto escalar entre o divergente e o rotacional no ponto \( (1, 0, 2) \) é: \[ \text{Valor escalar} = 1 + 2 = 3 \] Portanto, o valor do produto entre o divergente do campo vetorial \( F \) e seu rotacional no ponto \( (1, 0, 2) \) é 3.