Para determinar o volume do sólido abaixo do plano \( Z = 3x + 2y \) e acima da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = x \), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar os pontos de interseção das curvas \( y = x^2 \) e \( y = x \): - Igualando as duas equações: \( x^2 = x \) resulta em \( x(x - 1) = 0 \), ou seja, \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 2. Definir a região de integração: - A região está entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \), e entre as curvas \( y = x^2 \) (abaixo) e \( y = x \) (acima). 3. Montar a integral dupla para o volume: \[ V = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (3x + 2y) \, dy \, dx \] 4. Calcular a integral: - Primeiro, integramos em relação a \( y \): \[ \int (3x + 2y) \, dy = 3xy + y^2 \] - Avaliando de \( y = x^2 \) a \( y = x \): \[ V = \int_{0}^{1} \left[ 3x(x) + x^2 - (3x(x^2) + (x^2)^2) \right] \, dx \] - Simplificando: \[ V = \int_{0}^{1} \left[ 3x^2 + x^2 - (3x^3 + x^4) \right] \, dx = \int_{0}^{1} (4x^2 - 3x^3 - x^4) \, dx \] 5. Integrar: \[ \int (4x^2 - 3x^3 - x^4) \, dx = \left[ \frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{1} \] - Avaliando de 0 a 1: \[ V = \frac{4}{3} - \frac{3}{4} - \frac{1}{5} \] 6. Calculando o valor: - Convertendo para um denominador comum (60): \[ V = \frac{80}{60} - \frac{45}{60} - \frac{12}{60} = \frac{80 - 45 - 12}{60} = \frac{23}{60} \approx 0,38 \] Portanto, a alternativa correta é: a) Aproximadamente 0,38 u.v.