Considere m = 2,222... e n = 1,111... é correto afirmar que a expressão √???? − ????² é igual a: a) 4√5/9 b) 5√3/8 c) √2/9 d) √3/8 e) √2/11

Para resolver a expressão \( \sqrt{m} - n^2 \), primeiro precisamos determinar os valores de \( m \) e \( n \). 1. Identificando \( m \) e \( n \): - \( m = 2,222... = \frac{20}{9} \) (porque \( 2,222... = 2 + \frac{2}{9} \)) - \( n = 1,111... = \frac{10}{9} \) (porque \( 1,111... = 1 + \frac{1}{9} \)) 2. Calculando \( n^2 \): \[ n^2 = \left(\frac{10}{9}\right)^2 = \frac{100}{81} \] 3. Calculando \( \sqrt{m} \): \[ \sqrt{m} = \sqrt{\frac{20}{9}} = \frac{\sqrt{20}}{3} = \frac{2\sqrt{5}}{3} \] 4. Substituindo na expressão: \[ \sqrt{m} - n^2 = \frac{2\sqrt{5}}{3} - \frac{100}{81} \] 5. Encontrando um denominador comum: O denominador comum entre 3 e 81 é 81: \[ \frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{54\sqrt{5}}{81} \] Portanto: \[ \sqrt{m} - n^2 = \frac{54\sqrt{5}}{81} - \frac{100}{81} = \frac{54\sqrt{5} - 100}{81} \] Agora, precisamos verificar se essa expressão se iguala a alguma das alternativas dadas. Nenhuma das alternativas parece se encaixar diretamente, mas se considerarmos apenas a parte \( \sqrt{m} - n^2 \) e simplificarmos, podemos ver que a expressão não se iguala a nenhuma das opções apresentadas. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar a questão ou as alternativas.