Para resolver essa questão, precisamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos definir as variáveis: 1. \( u = s^2 - 4 + |t| \) 2. \( v = s^2 - 4 + t^2 \) Assim, temos \( g(s, t) = f(u, v) \). Agora, vamos calcular as derivadas parciais de \( g \): - A derivada parcial em relação a \( s \): \[ g_s = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial s} \] Onde: \[ \frac{\partial u}{\partial s} = 2s, \quad \frac{\partial v}{\partial s} = 2s \] - A derivada parcial em relação a \( t \): \[ g_t = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial t} \] Onde: \[ \frac{\partial u}{\partial t} = \text{sgn}(t), \quad \frac{\partial v}{\partial t} = 2t \] Agora, substituindo os valores de \( s \) e \( t \): 1. Para \( (s, t) = (2, -1) \): - \( u = 2^2 - 4 + 1 = 1 \) - \( v = 2^2 - 4 + 1 = 1 \) Portanto: \[ g_s(2, -1) = f_u(1, 1) \cdot 4 + f_v(1, 1) \cdot 4 = 8 \] 2. Para \( (s, t) = (-2, 1) \): - \( u = (-2)^2 - 4 + 1 = 1 \) - \( v = (-2)^2 - 4 + 1 = 1 \) Portanto: \[ g_t(-2, 1) = f_u(1, 1) \cdot 0 + f_v(1, 1) \cdot 2 = 3 \] Agora temos o sistema de equações: 1. \( 4f_u(1, 1) + 4f_v(1, 1) = 8 \) (dividindo por 4) \[ f_u(1, 1) + f_v(1, 1) = 2 \quad (1) \] 2. \( 0 + 2f_v(1, 1) = 3 \) (dividindo por 2) \[ f_v(1, 1) = \frac{3}{2} \quad (2) \] Substituindo (2) em (1): \[ f_u(1, 1) + \frac{3}{2} = 2 \] \[ f_u(1, 1) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \] Portanto, temos: \[ f_u(1, 1) = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad f_v(1, 1) = \frac{3}{2} \] Assim, a resposta é: \[ f_x(1, 1) = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad f_y(1, 1) = \frac{3}{2} \]