AP2-CIII-2019-2-gabarito

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP2 de Cálculo III – Gabarito – 30/11/2019</p><p>Código da disciplina: EAD 01015 (Matemática/F́ısica/Qúımica ) e EAD 16062</p><p>(Engenharia de Produc��ão )</p><p>Nome: Matŕıcula:</p><p>Atenção!</p><p>• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os</p><p>respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em</p><p>negrito) e o número da folha.</p><p>PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS</p><p>DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM</p><p>• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!</p><p>• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e</p><p>Polo.</p><p>• É expressamente proibido o uso de qualquer instru-</p><p>mento que sirva para cálculo como também qualquer</p><p>material que sirva de consulta.</p><p>• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-</p><p>cador.</p><p>• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta</p><p>para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.</p><p>• As Folhas de Respostas serão o único material considerado</p><p>para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,</p><p>mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.</p><p>• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois</p><p>isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.</p><p>Questão 1 (4,0 pontos) Considere a função f : R2 −→ R, definida por</p><p>f(x, y) = Ax+By,</p><p>para cada (x, y) ∈ R2, onde A ∈ R e B ∈ R são duas contantes não nulas. Seja</p><p>S = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1}.</p><p>(a) (2,0 pontos) Considerando A = 1 e B = 1, determine os pontos de S nos quais f assume seus valores máximo</p><p>e ḿınimo. Em seguida, calcule o valor máximo e o valor ḿınimo de f em S.</p><p>(b) (1,0 ponto) Em termos de A ∈ R e B ∈ R arbitrários, determine o valor máximo e o valor ḿınimo de f em</p><p>S;</p><p>(c) (1,0 ponto) Se (A,B) ∈ S, mostre que M = 1 e m = −1 são os valores máximo e ḿınimo de f em S,</p><p>respectivamente.</p><p>Solução:</p><p>(a) Inicialmente, observemos que</p><p>∇f(x, y) = (1, 1) 6= (0, 0),</p><p>para todo (x, y) ∈ R2. Portanto, para encontrarmos os pontos de máximo e os pontos de ḿınimo de f em S,</p><p>garantido pelo Teorema de Weierstrass, otimizaremos a função f = f(x, y), restrita à condição</p><p>x2 + y2 − 1︸ ︷︷ ︸</p><p>g(x,y)</p><p>= 0.</p><p>Cálculo III AP2 2</p><p>Supondo que P = (x, y) ∈ R2 seja um ponto onde f , sujeita à condição supracitada, assume um valor extremo,</p><p>o Método dos Multiplicadores de Lagrange garante a existência de λ ∈ R tal que</p><p>(1, 1) = ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) = λ(2x, 2y).</p><p>Nesse caso, λ 6= 0 e, consequentemente, x = 1</p><p>2λ e y = 1</p><p>2λ , donde</p><p>x2 + y2 − 1 = 0 =⇒ 1</p><p>4λ2 + 1</p><p>4λ2 = 1 =⇒ λ = ±</p><p>√</p><p>2</p><p>2 .</p><p>Dáı, os pontos nos quais f assume seus valores extremos são P1 =</p><p>(</p><p>1√</p><p>2</p><p>,</p><p>1√</p><p>2</p><p>)</p><p>e P2 =</p><p>(</p><p>−1√</p><p>2</p><p>,</p><p>−1√</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>Finalmente, como</p><p>f(P1) = 1 ·</p><p>(</p><p>1√</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 1 ·</p><p>(</p><p>1√</p><p>2</p><p>)</p><p>= 2√</p><p>2</p><p>> 0</p><p>e</p><p>f(P2) = 1 ·</p><p>(</p><p>−1√</p><p>2</p><p>)</p><p>+ 1 ·</p><p>(</p><p>−1√</p><p>2</p><p>)</p><p>= −2√</p><p>2</p><p>0</p><p>e</p><p>f(Q2) = A</p><p>(</p><p>−A√</p><p>A2 +B2</p><p>)</p><p>+B</p><p>(</p><p>−B√</p><p>A2 +B2</p><p>)</p><p>= −A</p><p>2 −B2</p><p>√</p><p>A2 +B2</p><p>0 e fxx(P ) = 2 > 0 =⇒ P é um ponto de ḿınimo local de f.</p><p>(b) A restrição da função f ao ćırculo C assume valores extremos globais em C, pois f é uma função cont́ınua e</p><p>C é um subconjunto compacto de R2.</p><p>Questão 3 (3,0 pontos)</p><p>Seja f : R2 −→ R uma função diferenciável, e defina g : R2 −→ R pondo</p><p>g(s, t) = f(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)</p><p>para cada (s, t) ∈ R2. Sabendo que gs(2,−1) = 8 e gt(−2, 1) = 3, calcule fx(1, 1) e fy(1, 1).</p><p>Solução:</p><p>Para cada (s, t) ∈ R2, ponhamos x = x(s, t) = s2− 4 + |t| e y = y(s, t) = s2− 4 + t2. Nesse caso, aplicando a Regra</p><p>da Cadeia, obtemos</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>gs(s, t) = fx(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)xs(s, t)</p><p>+ fy(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)ys(s, t)</p><p>= fx(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)(2s)</p><p>+ fy(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)(2s)</p><p>para todo (s, t) ∈ R2. Analogamente,</p><p>gt(s, t) = fx(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)xt(s, t)</p><p>+ fy(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)yt(s, t)</p><p>= fx(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)</p><p>(</p><p>|t|</p><p>t</p><p>)</p><p>+ fy(s2 − 4 + |t|, s2 − 4 + t2)(2t),</p><p>para todo (s, t) ∈ R× (R \ {0}). Com isso,</p><p>8 = gs(2,−1) = 4fx(1, 1) + 4fy(1, 1)</p><p>e</p><p>3 = gt(−2, 1) = fx(1, 1) + 2fy(1, 1).</p><p>Pondo α = fx(1, 1) e β = fy(1, 1), e resolvendo o sistema linear formado pelas equações</p><p>4α+ 4β = 8</p><p>e</p><p>α+ 2β = 3,</p><p>deduzimos que α = fx(1, 1) = 1 e β = fy(1, 1) = 1.</p>