A questão apresentada envolve o Teorema da Função Implícita e a análise de uma função \( F(x, y, z) \). Vamos analisar as partes (a) e (b) para determinar se o teorema pode ser aplicado. ### Parte (a) Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos verificar se a derivada parcial de \( F \) em relação a \( z \) não é zero no ponto considerado. A função é dada por: \[ F(x, y, z) = xz^2 - 4yz + x - y \] Calculamos a derivada parcial: \[ \frac{\partial F}{\partial z} = 2xz - 4y \] Agora, avaliamos em \( (1, 1, z) \): \[ \frac{\partial F}{\partial z}(1, 1, z) = 2(1)z - 4(1) = 2z - 4 \] Precisamos que \( 2z - 4 \neq 0 \). Para \( z = 2 \), temos \( 2(2) - 4 = 0 \). Portanto, o teorema pode ser aplicado em uma vizinhança onde \( z \neq 2 \). ### Parte (b) Agora, consideramos a função \( G(x, y, z) = \frac{\partial F}{\partial z} \): \[ G(x, y, z) = 2xz - 4y \] Precisamos verificar se \( G(x, y, z) = 0 \) define implicitamente uma função \( z = g(x, y) \). Para isso, calculamos: \[ \frac{\partial G}{\partial z} = 2x \] Precisamos que \( \frac{\partial G}{\partial z} \neq 0 \). Para \( x \neq 0 \), o teorema pode ser aplicado. ### Conclusão - Para a parte (a), o Teorema da Função Implícita pode ser aplicado em uma vizinhança onde \( z \neq 2 \). - Para a parte (b), o Teorema pode ser aplicado em uma vizinhança onde \( x \neq 0 \). Se você tiver alternativas específicas para a resposta, por favor, forneça-as para que eu possa ajudá-lo a escolher a correta!