❿ Determine a e b para que o gráfico da função y=a x2+bx+6 tenha o vértice no ponto ( 52 ,−1/4 ).

Para determinar os valores de \( a \) e \( b \) da função \( y = ax^2 + bx + 6 \) com o vértice no ponto \( (52, -\frac{1}{4}) \), podemos usar a fórmula do vértice de uma parábola, que é dada por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] E sabemos que \( x_v = 52 \). Portanto: \[ 52 = -\frac{b}{2a} \implies b = -104a \] Agora, substituímos \( x = 52 \) na função para encontrar \( y \): \[ y = a(52^2) + b(52) + 6 \] Sabemos que \( y = -\frac{1}{4} \): \[ -\frac{1}{4} = a(2704) + b(52) + 6 \] Substituindo \( b = -104a \): \[ -\frac{1}{4} = 2704a + (-104a)(52) + 6 \] Calculando \( -104a \times 52 \): \[ -104 \times 52 = -5408 \] Assim, temos: \[ -\frac{1}{4} = 2704a - 5408a + 6 \] Simplificando: \[ -\frac{1}{4} = -3704a + 6 \] Isolando \( a \): \[ -3704a = -\frac{1}{4} - 6 \] Convertendo 6 para fração: \[ 6 = \frac{24}{4} \implies -3704a = -\frac{1}{4} - \frac{24}{4} = -\frac{25}{4} \] Portanto: \[ 3704a = \frac{25}{4} \implies a = \frac{25}{4 \times 3704} = \frac{25}{14816} \] Agora, substituindo \( a \) para encontrar \( b \): \[ b = -104a = -104 \times \frac{25}{14816} = -\frac{2600}{14816} \] Assim, os valores de \( a \) e \( b \) são: \[ a = \frac{25}{14816} \quad \text{e} \quad b = -\frac{2600}{14816} \] Esses são os valores que satisfazem a condição do vértice.