Para determinar os intervalos em que a função \( f(x) = x + 2\sen(x) + 2 \) é decrescente, precisamos calcular a derivada da função e analisar seu sinal. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 1 + 2\cos(x) \] 2. Encontrar onde a derivada é menor que zero: \[ 1 + 2\cos(x) < 0 \] \[ 2\cos(x) < -1 \] \[ \cos(x) < -\frac{1}{2} \] 3. Determinar os intervalos: O cosseno é menor que \(-\frac{1}{2}\) nos intervalos: \[ \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right) \] 4. Considerar o intervalo dado: Como \( 0 \leq x \leq 2 \), precisamos verificar onde esses valores se encaixam. O intervalo \(\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)\) se aproxima de \(2.09\), então, dentro do intervalo \(0 \leq x \leq 2\), a função é decrescente em: \[ \left(\frac{2\pi}{3}, 2\right) \] Portanto, a função \( f(x) \) é decrescente no intervalo \( \left(\frac{2\pi}{3}, 2\right) \).