Determine o volume de um cilindro reto, sabendo que a área de sua base é igual à sua área lateral e a altura igual a 12 m.

Question

Ed · Answer

Para determinar o volume de um cilindro reto, usamos a fórmula:

$$ V = A_b \times h $$

onde $ V $ é o volume, $ A_b $ é a área da base e $ h $ é a altura.

Dado que a altura $ h = 12 \, m $ e a área da base $ A_b $ é igual à área lateral $ A_l $, precisamos primeiro encontrar a relação entre essas áreas.

A área lateral de um cilindro é dada por:

$$ A_l = 2 \pi r h $$

A área da base é:

$$ A_b = \pi r^2 $$

Como $ A_b = A_l $, temos:

$$ \pi r^2 = 2 \pi r h $$

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ \pi $ (desde que $ r \neq 0 $):

$$ r^2 = 2rh $$

Agora, substituímos $ h = 12 $:

$$ r^2 = 2r \times 12 $$
$$ r^2 = 24r $$

Rearranjando a equação:

$$ r^2 - 24r = 0 $$
$$ r(r - 24) = 0 $$

Assim, $ r = 0 $ ou $ r = 24 $. Como o raio não pode ser zero, temos $ r = 24 \, m $.

Agora, calculamos a área da base:

$$ A_b = \pi r^2 = \pi (24)^2 = 576\pi \, m^2 $$

Finalmente, calculamos o volume:

$$ V = A_b \times h = 576\pi \times 12 = 6912\pi \, m^3 $$

Portanto, o volume do cilindro é:

$$ V \approx 21745,66 \, m^3 $$ (usando $ \pi \approx 3,14 $).

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