Para resolver essa questão, precisamos entender como a área da região transformada por uma matriz está relacionada ao determinante dessa matriz. A área da região transformada \( Cv \) é dada pela fórmula: \[ \text{Área}(Cv) = |\det(C)| \cdot \text{Área}(Q) \] Dado que a área de \( Cv \) é 320 e a área de \( Q \) é 4, podemos escrever: \[ |\det(C)| \cdot 4 = 320 \] Portanto: \[ |\det(C)| = \frac{320}{4} = 80 \] Agora, substituindo \( C \) na expressão dada: \[ C = 2AB^{-1}A^TB A^{-1}B^T \] O determinante de \( C \) pode ser calculado usando a propriedade do determinante: \[ \det(C) = \det(2) \cdot \det(A) \cdot \det(B^{-1}) \cdot \det(A^T) \cdot \det(B) \cdot \det(A^{-1}) \cdot \det(B^T) \] Sabendo que \( \det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)} \) e \( \det(A^T) = \det(A) \) e \( \det(B^T) = \det(B) \), temos: \[ \det(C) = 2 \cdot \det(A)^3 \cdot \frac{1}{\det(B)} \cdot \det(B)^2 \] Assim, simplificando: \[ \det(C) = 2 \cdot \det(A)^3 \cdot \det(B) \] Sabemos que \( \det(B) = (-5)(1) - (-5)(-1) = -5 - 5 = -10 \). Portanto: \[ \det(C) = 2 \cdot \det(A)^3 \cdot (-10) = -20 \cdot \det(A)^3 \] Igualando a \( |\det(C)| = 80 \): \[ |-20 \cdot \det(A)^3| = 80 \] Isso implica: \[ 20 \cdot |\det(A)^3| = 80 \implies |\det(A)^3| = 4 \implies |\det(A)| = \sqrt[3]{4} = 2^{2/3} \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \det(A^6) = (\det(A))^6 = (2^{2/3})^6 = 2^4 = 16 \) (correta) b) \( \det(A^2) = (\det(A))^2 = (2^{2/3})^2 = 2^{4/3} \) (não é 16) c) \( \det(A^5) = (\det(A))^5 = (2^{2/3})^5 = 2^{10/3} \) (não é -32) d) \( \det(A^4) = (\det(A))^4 = (2^{2/3})^4 = 2^{8/3} \) (não é 81) e) \( \det(A^7) = (\det(A))^7 = (2^{2/3})^7 = 2^{14/3} \) (não é -16384) f) \( \det(A^3) = (\det(A))^3 = (2^{2/3})^3 = 4 \) (não é -27) Portanto, a alternativa correta é: a) detA6 = 64.