Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Função da posição: \( x(t) = -2t^3 + 12t^2 \) 2. Cálculo da posição em \( t = 3s \): \[ x(3) = -2(3)^3 + 12(3)^2 = -2(27) + 12(9) = -54 + 108 = 54 \text{ m} \] 3. Cálculo da velocidade: A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \[ v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 12t^2) = -6t^2 + 24t \] Agora, calculamos a velocidade em \( t = 3s \): \[ v(3) = -6(3)^2 + 24(3) = -6(9) + 72 = -54 + 72 = 18 \text{ m/s} \] 4. Cálculo da aceleração: A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 24t) = -12t + 24 \] Agora, calculamos a aceleração em \( t = 3s \): \[ a(3) = -12(3) + 24 = -36 + 24 = -12 \text{ m/s}^2 \] 5. Coordenada positiva máxima: Para encontrar a coordenada máxima, precisamos encontrar o ponto onde a velocidade é zero: \[ v(t) = -6t^2 + 24t = 0 \] Fatorando: \[ -6t(t - 4) = 0 \implies t = 0 \text{ ou } t = 4 \] Agora, calculamos a posição em \( t = 4s \): \[ x(4) = -2(4)^3 + 12(4)^2 = -2(64) + 12(16) = -128 + 192 = 64 \text{ m} \] Portanto, a coordenada máxima é \( 64 \text{ m} \) em \( t = 4s \). 6. Velocidade positiva máxima: A velocidade é máxima quando a derivada da velocidade é zero: \[ a(t) = -12t + 24 = 0 \implies t = 2 \] Agora, calculamos a velocidade em \( t = 2s \): \[ v(2) = -6(2)^2 + 24(2) = -6(4) + 48 = -24 + 48 = 24 \text{ m/s} \] Portanto, a velocidade máxima é \( 24 \text{ m/s} \) em \( t = 2s \). 7. Velocidade máxima entre \( t = 0s \) e \( t = 3s \): A velocidade em \( t = 0s \): \[ v(0) = 0 \text{ m/s} \] A velocidade em \( t = 3s \) já foi calculada como \( 18 \text{ m/s} \). Portanto, a velocidade máxima entre \( t = 0s \) e \( t = 3s \) é \( 18 \text{ m/s} \). Resumindo: - Posição em \( t = 3s \): \( 54 \text{ m} \) - Velocidade em \( t = 3s \): \( 18 \text{ m/s} \) - Aceleração em \( t = 3s \): \( -12 \text{ m/s}^2 \) - Coordenada máxima: \( 64 \text{ m} \) em \( t = 4s \) - Velocidade máxima: \( 24 \text{ m/s} \) em \( t = 2s \) - Velocidade máxima entre \( t = 0s \) e \( t = 3s \): \( 18 \text{ m/s} \)