Cap 25 - Triangulos

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Capítulo 25: Triângulos 
 
Resposta da questão 01: [C] 
 
 
 
20
60 =
𝑥
3 
𝑥 = 1 
 
30
60 =
𝑥
3 
𝑥 = 1,5 
 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = 1,5 × 1 = 1,5	𝑚! 
 
Resposta da questão 02: [D] 
 
Note que a diagonal PM divide os retângulos MNPQ 
pela metade (50%). 
Assim, os triângulos PMA, PAB, PBC e PCN possuem 
a mesma medida de área, visto que todos eles 
possuem a mesma altura (PN) e a mesma medida de 
base (𝑀𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑁). Isso significa que cada 
triângulos é 1/4 da metade da área desse quadrilátero 
(50%× "
#
= 12,5%) 
Logo, os triângulos PMA e PCB juntos possuem 25% 
da área da bandeira. 
 
Resposta da questão 03: [B] 
 
 
 
𝑥 = 400	𝑚 
 
 
 
 
Resposta da questão 04: [C] 
 
O ponto que dista igualmente dos lados de um triângulo 
é o incentro, já o ponto que dista igualmente dos 
vértices do triângulo é o circuncentro. Assim, os pontos 
onde as bolinhas de Ruben e Rael caíram, 
respectivamente, correspondem ao incentro e ao 
circuncentro do triângulo. 
 
Resposta da questão 05: [C] 
 
 
 
180 − 120 − 25 = 35° 
35 − 25 = 10° 
 
Resposta da questão 06: [B] 
 
• O circuncentro sempre está equidistante dos três 
vértices 
• O incentro sempre está equidistante dos três lados 
 
Resposta da questão 07: [D] 
 
𝐴𝐵;;;; = 𝐴𝐶;;;; = 𝐵𝐶;;;; = 𝑙 
𝑙 ∙ ℎ"
2 +
𝑙 ∙ ℎ!
2 +
𝑙 ∙ ℎ$
2 = 𝐴 
𝑙(ℎ" + ℎ! + ℎ$)
2 = 𝐴 
𝑙 ∙ 6 = 2 ∙
𝑙!√3
4 
𝑙 =
12
√3
 
𝐴 =
C12
√3
D
!
∙ √3
4 
𝐴 = 12√3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Resposta da questão 08: [C] 
 
 
 
sen 𝜃 =
ℎ
12 
sen 𝜃 =
16
20 =
4
5 
 
4
5 =
ℎ
12 → ℎ = 9,6 
 
 
Resposta da questão 09: [C] 
 
 
Resposta da questão 10: [C] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 11: [A] 
 
O perímetro do triângulo ABC destacado na figura é 
igual a 21 + 8 + 13 – 14 = 28 dam. 
 
 
Considerando agora o triângulo ADE, temos que o seu 
perímetro é igual a 28 + 9 + 12 – 16 = 33 dam. 
 
 
 
Logo, o perímetro do terreno triangular correspondente 
a fazenda de Laedson é 33 dam. 
 
Resposta da questão 12: [C] 
 
Link da Resolução em Vídeo: 
https://youtu.be/c5GAI4cCtSI 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
Baricentro é o ponto de equilíbrio do triângulo. 
 
Resposta da questão 14: [C] 
 
120
6 = 20 
 
20 ∙ 2 = 40	ℎ𝑒𝑐𝑡𝑎𝑟𝑒𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Resposta da questão 15: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
O Circuncentro de um triângulo é equidistante de seus 
vértices. 
 
Resposta da questão 17: [Escrita na Resolução] 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 18: [B] 
 
Quando dois triângulos têm a mesma altura, temos 
que a razão entre suas áreas é igual a razão entre 
suas bases. 
 
Como: 
 
𝐴%&' = 3 ⋅ 𝐴(&' 		⟹		𝐴)%' = 3 ⋅ 𝐴)(' 
 
Daí, 𝐴)(' = 3. 
 
Da mesma forma, como: 
𝐴)*+ = 2 ⋅ 𝐴,*+ 		⟹		𝐴)+( = 2 ⋅ 𝐴,+( 
 
Daí, 𝐴)+( = 16. 
 
 
Logo, a área do Q do quadrilátero hachurado é igual a 
3 + 16 = 19 hectares. 
 
Resposta da questão 19: [C] 
 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
Condições para representar um triângulo: “Qualquer 
um dos lados é menor que a soma dos outros dois e 
maior que o valor absoluto da diferença entre esses 
lados”. 
Logo, a resposta é a alternativa [E]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Resposta da questão 21: [E] 
 
 
 
Resposta da questão 22: [E] 
 
 
 
11$ = 1331 
 
Resposta da questão 23: [B] 
 
Considerando que a rotação de 90° foi feita em torno 
do ponto B refletido, temos a seguinte figura: 
 
Portanto, a alternativa correta é a [B]. 
 
Resposta da questão 24: [A] 
 
Marcando três pontos na circunferência, determinamos 
os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro 
da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. 
 
Resposta da questão 25: [E] 
 
 
 
Resposta da questão 26: [E] 
 
 
Resposta da questão 27: [C] 
 
Considere a figura abaixo, em que P é o ponto 
onde deverá ser construída a estação. 
 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APH, 
obtemos 
 
Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída 
na perpendicular à estrada que liga C e D passando 
por seu ponto médio, a 25km dessa estrada. 
 
Resposta da questão 28: [Escrita na Resolução] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Resposta da questão 29: [C] 
 
 
 
 
Resposta da questão 30: [A] 
 
 
 
Resposta da questão 31: [A] 
 
Considerando x a medida do ângulo do vértice e 2x a 
medida de cada um dos ângulos da base, temos a 
seguinte equação: 
 
 
 
Resposta da questão 32: [17°30′] 
 
 
 
Resposta da questão 33: [A] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 34: [C] 
 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
Resposta da questão 36: [A] 
 
 
 
 
6 
Resposta da questão 37: [D] 
 
 
Resposta da questão 38: [E] 
 
Á𝑟𝑒𝑎	𝑑𝑒	𝐴𝐵𝐶 = 6 ∙ 𝑆" = 6 ∙ 6 = 36	𝑚! 
 
Resposta da questão 39: [11] 
 
 
Resposta da questão 40: [E] 
 
A área destinada à plantação de flores é 1/6 da área 
do paralelogramo, pois todos os triângulos possuem a 
mesma área. 
 
 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
 
Resposta da questão 42: [E] 
 
 
Resposta da questão 43: [B] 
 
 
Resposta da questão 44: [B] 
 
Seja o pé da perpendicular baixada de sobre a 
reta É fácil ver que Daí, como 
é ângulo externo do triângulo segue-se que 
 o que implica em 
 
Portanto, a velocidade do avião no trecho era de 
 
 
 
Resposta da questão 45: [D] 
 
 
Resposta da questão 46: [A] 
 
 
 
Logo, 
 
 
Resposta da questão 47: [C] 
 
 
 
No triângulo temos: 
 
 
No triângulo temos: 
 
 
Portanto, as medidas de e respectivamente, é 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P' P
AA '.
!"""#
!P'AP 60 .= ° !P'AP
AA 'P
∂AA'P 30 ,= ° AA' AP 8km.= =
AA '
8 240km h.2
60
=
n 180 115 n 65
PM PN m 65
= °- °Þ = °
= Þ = °
p 180 2 65 50= °- × ° = °
BPC,
2x 140 180 2x 40+ ° = °Þ = °
ABC,
y 2x 2x 180 y 180 4x y 180 80 y 100+ + = °Þ = °- Þ = °- °Þ = °
A,B C,
100 , 40° ° 40 .°
 
 
7 
Resposta da questão 48: [A] 
 
Do enunciado, temos a figura: 
 
 
 
Como o triângulo é isósceles, com 
 
Seja 
 
 
No triângulo 
 
 
Como a reta suporte do segmento é bissetriz do 
ângulo e 
 
Fazendo 
 
Como a medida do ângulo é o dobro da medida 
do ângulo e 
 
Como os triângulos e são semelhantes, 
 
No triângulo 
 
 
Como 
 é um ângulo externo do triângulo 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 49: [B] 
 
 
Resposta da questão 50: [B] 
 
Os ângulos podem ser escritos em ordem crescente 
como (x, y, 3x). E, por se tratar de uma PA, devemos 
ter que: 
 
 
Da soma dos ângulos internos de um triângulo, 
obtemos: 
 
 
Portanto, a diferença da medida dentre os dois 
menores ângulos desse triângulo é de: 
 
 
Resposta da questão 51: [C] 
 
Comprimento c em função de a: 
 
 
Como não foi possível construir um triângulo, devemos 
ter que: 
 
 
Portanto, o maior valor possível de a é 11,5 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AB AC,= ABC
ˆˆABC ACB .θ= =
ˆBAC .β=
90 10
40
β β
β
= ° - - °
= °
ABC,
2 180
40 2 180
70
β θ
θ
θ
+ = °
+ = °
= °
!
BD
ˆABC ˆABC 70 ,= ° ˆ ˆEBD DBC 35 .= = °
ˆ ˆDCE , BCE 70 .α α= = °-
ˆAED
ˆBCE ˆBCE 70 ,α= ° - ˆAED 140 2 .α= °-
CDE CEA
ˆ ˆCAE CED 40 .= = °
AEC,
40 140 2 40 180
40
α α
α
° + °- + ° + = °
= °
ˆ40 , AED 140 2 60α α= ° = °- = °
ˆAED BED.
60 35 x
x 25
ˆEDB 25
° = ° +
= °
= °
y x 3x y
2y 4x
y 2x
- = -
=
=
x 2x 3x 180
6x 180
x 30
+ + = °
= °
= °
2 30 30 30× ° - ° = °
a b c 50
a a 2 c 50
c 48 2a
+ + =
+ + + =
= -
c a b
48 2a a a 2
a 11,5
³ +
- ³ + +
£
 
 
8 
Resposta da questão 52: [B] 
 
 
No temos: 
 
 
 
 
 
No temos: 
 
 
Resposta da questão 53: [D] 
 
De acordo com as informações do problema e 
considerando que temos: 
 
 
 
 
 
Portanto, as medidas dos ângulos são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ADP,Δ
2 60 90 180
2 30
15
α
α
α
+ ° + ° = °
= °
= °
AOP,Δ
x 60 15 180
x 75 180
x 105
+ ° + ° = °
+ ° = °
\ = °
ˆACB x,=
x 70x 70 x 180
2
2x 140 x 70 2x 360
5x 150
x 30
+ °
+ ° + + = °
+ ° + + ° + = °
= °
= °
x 30= °
x 70 30 70 50
2 2
+ ° ° + °
= = °
x 70 100+ ° = °