Questão resolvida - Duas partículas se movem ao longo do eixo x A posição da partícula 1 é dada - (Halliday_ Exercício 70, Capítulo 2 - 10 Edição) - Física I

Física

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Engenharias

em 29/07/2023

Questões resolvidas

tícula 2 é dada por;

a = -8t

(1) Integrando a equação da aceleração em relação ao tempo , chegamos na equação da t
velocidade da partícula em relação ao tempo :v t

v = ∫( - 8t)dt = + c = - 4t + c2
-8t
2
2
2
Para obtermos a constante de integração c, usamos a informação de que, no instante
, a velocidade da partícula 2 é :t = 0 s 20 m / s

v (0) = - 4 ⋅ 0 + c = 20 -4 ⋅ 0 + c = 20 -0 + c = 202 2 → →

c = 20
Com isso, a velocidade é fica;v2

v = - 4t + 202
2

Agora, igualamos as velocidades (equação 1) e (equação 1) para encontrar o instante v1 v2
em que as velocidades são iguais:

12t + 3 = -4t + 202

Reorganizando os termos;

12t + 3 = -4t + 20 12t + 3 + 4t - 20 = 0 4t + 12t - 17 = 02 → 2 → 2

Chegamos em uma equação do segundo grau, resolvendo;

t =
- 12 ±
2 ⋅ 4
( ) 12 - 4 ⋅ 4 ⋅ -17( )2 ( )

t' = = = =
-12 +
8
144 + 272 -12 +
8
416 -12 +
8
26 ⋅ 16 -12 + ⋅
8
26 16
t' = ≅ 1, 05 s
-12 + 4
8
26

t'' = = = =
-12 -
8
144 + 272 -12 -
8
416 -12 -
8
26 ⋅ 16 -12 - ⋅
8
26 16

(2) t'' = ≅ - 4, 05 s
-12 - 4
8
26

Com não existe tempo negativo, as partículas se encontrem quando ; como as t = 1, 05
velocidades das partículas também são iguais, vamos encontrar a velocidade das partículas
neste instante, usando a equação 1;

t = 1, 05 v = v = v = 12 ⋅ 1, 05 + 3→ 1 2

v = 15, 6 m / s

(Resposta)

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Questões resolvidas

tícula 2 é dada por;

a = -8t

(1) Integrando a equação da aceleração em relação ao tempo , chegamos na equação da t
velocidade da partícula em relação ao tempo :v t

v = ∫( - 8t)dt = + c = - 4t + c2
-8t
2
2
2
Para obtermos a constante de integração c, usamos a informação de que, no instante
, a velocidade da partícula 2 é :t = 0 s 20 m / s

v (0) = - 4 ⋅ 0 + c = 20 -4 ⋅ 0 + c = 20 -0 + c = 202 2 → →

c = 20
Com isso, a velocidade é fica;v2

v = - 4t + 202
2

Agora, igualamos as velocidades (equação 1) e (equação 1) para encontrar o instante v1 v2
em que as velocidades são iguais:

12t + 3 = -4t + 202

Reorganizando os termos;

12t + 3 = -4t + 20 12t + 3 + 4t - 20 = 0 4t + 12t - 17 = 02 → 2 → 2

Chegamos em uma equação do segundo grau, resolvendo;

t =
- 12 ±
2 ⋅ 4
( ) 12 - 4 ⋅ 4 ⋅ -17( )2 ( )

t' = = = =
-12 +
8
144 + 272 -12 +
8
416 -12 +
8
26 ⋅ 16 -12 + ⋅
8
26 16
t' = ≅ 1, 05 s
-12 + 4
8
26

t'' = = = =
-12 -
8
144 + 272 -12 -
8
416 -12 -
8
26 ⋅ 16 -12 - ⋅
8
26 16

(2) t'' = ≅ - 4, 05 s
-12 - 4
8
26

Com não existe tempo negativo, as partículas se encontrem quando ; como as t = 1, 05
velocidades das partículas também são iguais, vamos encontrar a velocidade das partículas
neste instante, usando a equação 1;

t = 1, 05 v = v = v = 12 ⋅ 1, 05 + 3→ 1 2

v = 15, 6 m / s

(Resposta)

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• Duas partículas se movem ao longo do eixo . A posição da partícula 1 é dada por x
, em que está em metros e em segundos; a x = 6, 00t2 + 3, 00t + 2, 00 x t
aceleração da partícula 2 é dada por , em que a está em metros por a = - 8, 00t
segundo ao quadrado, e em segundos. No instante , a velocidade da partícula t t = 0
2 é . Qual é a velocidade das partículas no instante em que elas têm a mesma 20 m / s
velocidade?
 
Resolução:
 
Primeiro, necesitamos encontrar o instante em que as duas partículas têm a mesma 
velocidade, precisamos igualar as suas velocidades e resolver a equação resultante. Dessa 
forma, encontraremos as velocidades das duas partículas em termos de t.
 
Partícula 1:
 
Temos que a posição da partícula 1 é dada por;x
 
x = 6, 00t + 3, 00t + 2, 002
 
Derivando a posição em relação ao tempo , obtemos a expressão para a velocidade da t v
partícula 1 em função de :t
 
v = =1
dx
dt
d(6t + 3t + 2)
dt
2
 
v = 12t + 31
Partícula 2:
 
Temos que a aceleração a da partícula 2 é dada por;
 
a = -8t
 
 
 
(1)
Integrando a equação da aceleração em relação ao tempo , chegamos na equação da t
velocidade da partícula em relação ao tempo :v t
 
v = ∫( - 8t)dt = + c = - 4t + c2
-8t
2
2
2
Para obtermos a constante de integração c, usamos a informação de que, no instante 
, a velocidade da partícula 2 é :t = 0 s 20 m / s
 
v (0) = - 4 ⋅ 0 + c = 20 -4 ⋅ 0 + c = 20 -0 + c = 202 2 → →
 
c = 20
Com isso, a velocidade é fica;v2
 
v = - 4t + 202
2
 
Agora, igualamos as velocidades (equação 1) e (equação 1) para encontrar o instante v1 v2
em que as velocidades são iguais:
 
12t + 3 = -4t + 202
 
Reorganizando os termos;
 
12t + 3 = -4t + 20 12t + 3 + 4t - 20 = 0 4t + 12t - 17 = 02 → 2 → 2
 
Chegamos em uma equação do segundo grau, resolvendo;
 
t =
- 12 ±
2 ⋅ 4
( ) 12 - 4 ⋅ 4 ⋅ -17( )2 ( )
 
t' = = = =
-12 +
8
144 + 272 -12 +
8
416 -12 +
8
26 ⋅ 16 -12 + ⋅
8
26 16
t' = ≅ 1, 05 s
-12 + 4
8
26
 
t'' = = = =
-12 -
8
144 + 272 -12 -
8
416 -12 -
8
26 ⋅ 16 -12 - ⋅
8
26 16
 
 
 
(2)
t'' = ≅ - 4, 05 s
-12 - 4
8
26
 
Com não existe tempo negativo, as partículas se encontrem quando ; como as t = 1, 05
velocidades das partículas também são iguais, vamos encontrar a velocidade das partículas 
neste instante, usando a equação 1;
 
t = 1, 05 v = v = v = 12 ⋅ 1, 05 + 3→ 1 2
 
v = 15, 6 m / s
 
 
(Resposta)