Para resolver a inequação \( \sin(x) \cdot \cos(x) \leq 0 \), precisamos analisar os sinais de \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( 2\pi \). 1. Identificar os zeros: - \( \sin(x) = 0 \) em \( x = 0, \pi, 2\pi \) - \( \cos(x) = 0 \) em \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \) 2. Analisar os sinais: - No intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \): \( \sin(x) \geq 0 \) e \( \cos(x) \geq 0 \) → produto positivo. - No intervalo \( [\frac{\pi}{2}, \pi] \): \( \sin(x) \geq 0 \) e \( \cos(x) \leq 0 \) → produto negativo. - No intervalo \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \): \( \sin(x) \leq 0 \) e \( \cos(x) \leq 0 \) → produto positivo. - No intervalo \( [\frac{3\pi}{2}, 2\pi] \): \( \sin(x) \leq 0 \) e \( \cos(x) \geq 0 \) → produto negativo. 3. Conjunto solução: - A inequação \( \sin(x) \cdot \cos(x) \leq 0 \) é satisfeita nos intervalos onde o produto é negativo ou igual a zero. Portanto, temos: - \( \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \) (onde \( \sin(x) \) é positivo e \( \cos(x) \) é negativo) - \( \frac{3\pi}{2} \leq x \leq 2\pi \) (onde \( \sin(x) \) é negativo e \( \cos(x) \) é positivo) Assim, a alternativa correta é: a) \( \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \) ou \( \frac{3\pi}{2} \leq x \leq 2\pi \).