A equação 4x2 – y2 – 32x + 8y + 52 = 0, no plano xy, representa a) duas retas b) uma circunferência c) uma elipse d) uma hipérbole e) uma parábola

Para determinar a forma da equação \(4x^2 - y^2 - 32x + 8y + 52 = 0\), vamos reorganizá-la e identificar os termos. 1. Reorganizando a equação: \[ 4x^2 - 32x - y^2 + 8y + 52 = 0 \] 2. Completar o quadrado para \(x\): \[ 4(x^2 - 8x) = 4((x - 4)^2 - 16) = 4(x - 4)^2 - 64 \] 3. Completar o quadrado para \(y\): \[ - (y^2 - 8y) = -((y - 4)^2 - 16) = -(y - 4)^2 + 16 \] 4. Substituindo na equação: \[ 4(x - 4)^2 - 64 - (y - 4)^2 + 16 + 52 = 0 \] \[ 4(x - 4)^2 - (y - 4)^2 + 4 = 0 \] \[ 4(x - 4)^2 - (y - 4)^2 = -4 \] \[ \frac{(y - 4)^2}{4} - (x - 4)^2 = 1 \] Essa é a forma padrão da equação de uma hipérbole. Portanto, a resposta correta é: d) uma hipérbole.