Determine a derivada de f(x) = e^{2x} sin(x). a) e^{2x}(2sin(x) + cos(x)) b) e^{2x}(2sin(x) - cos(x)) c) e^{2x}sin(x) d) 2e^{2x}sin(x)

Para determinar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} \sin(x) \), utilizamos a regra do produto, que afirma que a derivada de um produto de duas funções \( u(x) \) e \( v(x) \) é dada por: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Neste caso, temos: - \( u(x) = e^{2x} \) e \( u'(x) = 2e^{2x} \) - \( v(x) = \sin(x) \) e \( v'(x) = \cos(x) \) Aplicando a regra do produto: \[ f'(x) = (2e^{2x}) \sin(x) + e^{2x} \cos(x) \] Fatorando \( e^{2x} \): \[ f'(x) = e^{2x} (2\sin(x) + \cos(x)) \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) \).