Determine o valor de f'(2) para a função f(x) = ln(x^2 + 1). a) \frac{2}{5} b) \frac{4}{5} c) \frac{1}{5} d) \frac{2}{3}

Para determinar o valor de \( f'(2) \) para a função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \), precisamos primeiro calcular a derivada da função. 1. Derivada da função: Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' \), onde \( u = x^2 + 1 \). - \( u' = 2x \) - Portanto, \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \) 2. Substituindo \( x = 2 \): Agora, substituímos \( x \) por 2 na derivada: \[ f'(2) = \frac{2 \cdot 2}{2^2 + 1} = \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5} \] Assim, o valor de \( f'(2) \) é \( \frac{4}{5} \). Portanto, a alternativa correta é: b) \(\frac{4}{5}\).