tabuada adulta TAS

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<p>c) 1</p><p>d) 10</p><p>**Resposta: b) 5**</p><p>**Explicação:** Utilizando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\sin(kx)}{x} = k\). Portanto, neste caso, \(k = 5\), resultando em um limite de 5.</p><p>2. Determine a derivada da função \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).</p><p>a) \(3x^2 - 6x\)</p><p>b) \(3x^2 - 6x + 4\)</p><p>c) \(6x - 3\)</p><p>d) \(x^2 - 3\)</p><p>**Resposta: a) \(3x^2 - 6x\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra de potência para derivar \(f(x)\). A derivada de \(x^n\) é</p><p>\(nx^{n-1}\). Portanto, a derivada de \(x^3\) é \(3x^2\) e a derivada de \(-3x^2\) é \(-6x\). A</p><p>constante 4 se torna 0.</p><p>3. Encontre a integral definida \(\int_1^3 (2x + 1) \, dx\).</p><p>a) 8</p><p>b) 10</p><p>c) 12</p><p>d) 14</p><p>**Resposta: a) 8**</p><p>**Explicação:** Primeiro, calculamos a integral indefinida: \(\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x +</p><p>C\). Avaliando de 1 a 3, temos \((3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\).</p><p>4. Calcule a segunda derivada de \(f(x) = e^{2x}\).</p><p>a) \(2e^{2x}\)</p><p>b) \(4e^{2x}\)</p><p>c) \(e^{2x}\)</p><p>d) \(8e^{2x}\)</p><p>**Resposta: b) \(4e^{2x}\)**</p><p>**Explicação:** A primeira derivada de \(f(x) = e^{2x}\) é \(f'(x) = 2e^{2x}\). A segunda</p><p>derivada, derivando novamente, resulta em \(f''(x) = 2 \cdot 2e^{2x} = 4e^{2x}\).</p><p>5. Determine o valor de \(f'(2)\) para a função \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\).</p><p>a) \(\frac{2}{5}\)</p><p>b) \(\frac{4}{5}\)</p><p>c) \(\frac{1}{5}\)</p><p>d) \(\frac{2}{3}\)</p><p>**Resposta: b) \(\frac{4}{5}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x\). Avaliando</p><p>em \(x = 2\): \(f'(2) = \frac{2(2)}{2^2 + 1} = \frac{4}{5}\).</p><p>6. Encontre o ponto crítico da função \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** A derivada é \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x\). Igualando a zero, temos</p><p>\(4x(x^2 - 3x + 3) = 0\). O ponto crítico é \(x = 2\) (usando a fórmula quadrática para</p><p>resolver a parte quadrática).</p><p>7. Calcule a integral \(\int (3x^2 - 4x + 1) \, dx\).</p><p>a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\)</p><p>b) \(x^3 - 4x^2 + x + C\)</p><p>c) \(3x^3 - 2x^2 + x + C\)</p><p>d) \(x^3 - 2x^2 + 3x + C\)</p><p>**Resposta: a) \(x^3 - 2x^2 + x + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral de cada termo é calculada separadamente: \(\int 3x^2 \, dx =</p><p>x^3\), \(\int -4x \, dx = -2x^2\), e \(\int 1 \, dx = x\). Portanto, a integral completa é \(x^3 -</p><p>2x^2 + x + C\).</p><p>8. Determine o limite: \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{5x^2 + 7}\).</p><p>a) 0</p><p>b) \(\frac{3}{5}\)</p><p>c) 1</p><p>d) \(\infty\)</p><p>**Resposta: b) \(\frac{3}{5}\)**</p><p>**Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau de \(x^2\).</p><p>Assim, temos \(\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x^2}}{5 + \frac{7}{x^2}} = \frac{3}{5}\).</p><p>9. Calcule a derivada da função \(f(x) = \tan(x)\).</p><p>a) \(\sec^2(x)\)</p><p>b) \(\sin^2(x)\)</p><p>c) \(\cos^2(x)\)</p><p>d) \(\csc^2(x)\)</p><p>**Resposta: a) \(\sec^2(x)\)**</p><p>**Explicação:** A derivada da tangente é uma identidade fundamental em cálculo, onde</p><p>\(f'(x) = \sec^2(x)\).</p><p>10. Encontre a integral indefinida \(\int (4x^3 - 2x) \, dx\).</p><p>a) \(x^4 - x^2 + C\)</p><p>b) \(x^4 - x^2 + 2C\)</p><p>c) \(2x^4 - x^2 + C\)</p><p>d) \(x^4 - 2x^2 + C\)</p><p>**Resposta: a) \(x^4 - x^2 + C\)**</p><p>**Explicação:** A integral é calculada como segue: \(\int 4x^3 \, dx = x^4\) e \(\int -2x \,</p><p>dx = -x^2\). Portanto, a integral total é \(x^4 - x^2 + C\).</p><p>11. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) \(\infty\)</p><p>**Resposta: c) 2**</p><p>**Explicação:** O limite resulta em uma forma indeterminada \(0/0\). Usando a</p><p>fatoração, temos \(\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}\). Cancelando \(x - 1\), obtemos \(\lim_{x \to 1}</p><p>(x + 1) = 2\).</p><p>12. Determine a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\).</p><p>a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>c) \(\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>d) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)</p><p>**Resposta: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)**</p><p>**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \(\sqrt{u}\) é</p><p>\(\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'\). Aqui, \(u = x^2 + 1\) e \(u' = 2x\), resultando em</p><p>\(\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).</p><p>13. Calcule a integral definida \(\int_0^1 (6x^2 - 4x + 1) \, dx\).</p><p>a) \(\frac{1}{3}\)</p><p>b) \(\frac{2}{3}\)</p><p>c) 1</p><p>d) \(\frac{3}{4}\)</p><p>**Resposta: b) \(\frac{2}{3}\)**</p><p>**Explicação:** A integral indefinida é \(2x^3 - 2x^2 + x + C\). Avaliando de 0 a 1:</p><p>\((2(1)^3 - 2(1)^2 + 1) - (0) = 2 - 2 + 1 = 1\).</p><p>14. Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\).</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 3</p><p>d) \(\infty\)</p><p>**Resposta: c) 3**</p><p>**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, sabemos que \(\lim_{x \to 0}</p><p>\frac{\tan(kx)}{x} = k\). Portanto, neste caso, \(k = 3\), resultando em 3.</p><p>15. Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\).</p><p>a) \(-\frac{1}{x^2}\)</p><p>b) \(\frac{1}{x^2}\)</p>