Para encontrar a primeira derivada da função \( m(x) = \sqrt{x^5 + x} \), vamos usar a regra da cadeia. 1. Identifique a função externa e a interna: - Função externa: \( u = \sqrt{v} \) onde \( v = x^5 + x \). - A derivada da função externa \( u \) em relação a \( v \) é \( \frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \). 2. Calcule a derivada da função interna: - A derivada de \( v = x^5 + x \) é \( \frac{dv}{dx} = 5x^4 + 1 \). 3. Aplique a regra da cadeia: - A derivada de \( m(x) \) em relação a \( x \) é: \[ m'(x) = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^5 + x}} \cdot (5x^4 + 1) \] - Simplificando, temos: \[ m'(x) = \frac{5x^4 + 1}{2\sqrt{x^5 + x}} \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \frac{5x^4 + 1}{2\sqrt{x^5 + x}} \) - Correta. B) \( \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5}} \) - Incorreta. C) \( \frac{5x^4 + 1}{\sqrt{x^5 + x}} \) - Incorreta. D) \( \frac{2(5x^4 + 1)}{\sqrt{x^5 + x}} \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é: A) \( \frac{5x^4 + 1}{2\sqrt{x^5 + x}} \).