calculo hard 2RUZ

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<p>- B) 1</p><p>- C) 2</p><p>- D) 3</p><p>**Resposta**: C) 2. **Explicação**: O limite apresenta uma indeterminação \(</p><p>\frac{0}{0} \). Fatorando, temos \( \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)} \), que se simplifica para \( x + 1</p><p>\) para \( x \neq 1 \). Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \).</p><p>19. **Problema**: Encontre a integral definida \( \int_{0}^{3} (6 - x^2) \, dx \).</p><p>- A) 4</p><p>- B) 6</p><p>- C) 9</p><p>- D) 12</p><p>**Resposta**: C) 9. **Explicação**: A antiderivada de \( 6 - x^2 \) é \( 6x - \frac{x^3}{3} \).</p><p>Avaliando no intervalo, \( [6(3) - \frac{3^3}{3}] - [6(0) - 0] = (18 - 9) = 9 \).</p><p>20. **Problema**: Qual é a derivada de \( k(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>- A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>- B) \( \frac{2}{x + 1} \)</p><p>- C) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)</p><p>- D) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>**Resposta**: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). **Explicação**: Para encontrar a derivada,</p><p>aplicamos a regra da cadeia: \( k'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>21. **Problema**: Determine a integral indefinida \( \int \cos(2x) \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \)</p><p>- B) \( \sin(2x) + C \)</p><p>- C) \( -\sin(2x) + C \)</p><p>- D) \( \frac{1}{3}\cos(2x) + C \)</p><p>**Resposta**: A) \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \). **Explicação**: A integral de \( \cos(kx) \) é \(</p><p>\frac{1}{k}\sin(kx) + C \). Aqui, \( k = 2 \), então a antiderivada é \( \frac{1}{2}\sin(2x) + C \).</p><p>22. **Problema**: Calcular \( \int_{-1}^{1} (x^4 - 4x^2) \, dx \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) 2</p><p>- D) 4</p><p>**Resposta**: A) 0. **Explicação**: A função \( f(x) = x^4 - 4x^2 \) é par. A integral de</p><p>uma função par em um intervalo simétrico sobre a origem é zero, pois \( f(-x) = f(x) \).</p><p>Assim, \( \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0 \).</p><p>23. **Problema**: Qual é o valor de \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{2}e^{x^2} + C \)</p><p>- B) \( \frac{1}{2}xe^{x^2} - \frac{1}{4}e^{x^2} + C \)</p><p>- C) \( \frac{1}{2}xe^{x^2} + C \)</p><p>- D) \( \frac{1}{3}e^{x^2} + C \)</p><p>**Resposta**: B) \( \frac{1}{2}xe^{x^2} - \frac{1}{4}e^{x^2} + C \). **Explicação**: Usamos</p><p>substituição \( u = x^2 \), \( du = 2x \, dx \). O integral torna-se \( \frac{1}{2}\int e^{u} \, du =</p><p>\frac{1}{2} e^{u} + C\), e retornando obtemos o resultado.</p><p>24. **Problema**: Determine a primeira derivada da função \( m(x) = \sqrt{x^5 + x} \).</p><p>- A) \( \frac{5x^4 + 1}{2\sqrt{x^5 + x}} \)</p><p>- B) \( \frac{5x^4}{2\sqrt{x^5}} \)</p><p>- C) \( \frac{5x^4 + 1}{\sqrt{x^5 + x}} \)</p><p>- D) \( \frac{2(5x^4 + 1)}{\sqrt{x^5 + x}} \)</p><p>**Resposta**: A) \( \frac{5x^4 + 1}{2\sqrt{x^5 + x}} \). **Explicação**: Aplicamos a regra</p><p>da cadeia: a derivada é \( \frac{1}{2}(x^5 + x)^{-1/2} (5x^4 + 1) \).</p><p>25. **Problema**: Calcule a integral indefinida \( \int (2x + 1)^3 \, dx \).</p><p>- A) \( \frac{2}{4}(2x + 1)^4 + C \)</p><p>- B) \( \frac{1}{4}(2x + 1)^4 + C \)</p><p>- C) \( \frac{1}{3}(2x + 1)^3 + C \)</p><p>- D) \( \frac{2}{3}(2x + 1)^4 + C \)</p><p>**Resposta**: B) \( \frac{1}{4}(2x + 1)^4 + C \). **Explicação**: Usamos a regra de</p><p>potência: ao integrar \( (2x + 1)^n \), temos \( \frac{(2x + 1)^{4}}{4} + C \).</p><p>26. **Problema**: Determine \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1/2</p><p>- C) 1</p><p>- D) -1/2</p><p>**Resposta**: B) 1/2. **Explicação**: Utilizando a série de Taylor ou a substituição de</p><p>limites, sabemos que \( \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} \) para \( x \) próximo de 0,</p><p>resultando em \( \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} \rightarrow -\frac{1}{2} \) ao</p><p>simplificar.</p><p>27. **Problema**: A função \( f(x) = 3x^2 - 12x + 9 \) tem um mínimo local em</p><p>- A) \( x = 1 \)</p><p>- B) \( x = 2 \)</p><p>- C) \( x = 3 \)</p><p>- D) \( x = 4 \)</p><p>**Resposta**: B) \( x = 2 \). **Explicação**: A derivada \( f'(x) = 6x - 12 \) igualando a 0</p><p>resulta em \( x = 2 \). Para confirmar que é um mínimo, calculamos a segunda derivada \(</p><p>f''(x) = 6 \), que é positiva, confirmando um mínimo.</p><p>28. **Problema**: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 + 1} \).</p><p>- A) 0</p><p>- B) 1</p><p>- C) 2</p><p>- D) 3</p><p>**Resposta**: C) 3. **Explicação**: Dividindo todos os termos pelo maior termo \( x^2</p><p>\), obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{2 + 0}</p><p>= \frac{3}{2} \).</p><p>29. **Problema**: Determine a integral: \( \int_0^{\pi/4} \tan(x) \, dx \)</p><p>- A) \( \frac{\pi}{4} \)</p><p>- B) \( \ln(2) \)</p><p>- C) \( 1 \)</p><p>- D) \( \frac{\pi}{8} \)</p><p>**Resposta**: B) \( \ln(2) \). **Explicação**: A antiderivada de \( \tan(x) \) é \( -\ln(\cos(x))</p><p>\). Avaliando entre 0 e \( \pi/4 \) resulta em \( -\ln(\cos(\frac{\pi}{4})) + \ln(\cos(0)) = -</p><p>\ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0 = \ln(2) \).</p><p>30. **Problema**: Qual é a derivada do logaritmo natural da raiz quadrada, \( f(x) =</p><p>\ln(\sqrt{x}) \)?</p><p>- A) \( \frac{1}{2x} \)</p><p>- B) \( \frac{1}{x} \)</p><p>- C) \( \frac{1}{2} \frac{1}{x} \)</p><p>- D) \( \frac{3}{2x} \)</p><p>**Resposta**: C) \( \frac{1}{2} \frac{1}{x} \). **Explicação**: Reescrevendo, \( \ln(\sqrt{x})</p><p>= \frac{1}{2}\ln(x) \) e a derivada \( \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}\ln(x) \right) =</p><p>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} \).</p><p>31. **Problema**: Calcular \( \int_2^4 (3x^2 + 2) \, dx \).</p><p>- A) 36</p><p>- B) 32</p><p>- C) 20</p><p>- D) 10</p>